2023年中考数学难点突破——圆的综合题

2023年中考数学难点突破——圆的综合题 1. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆． (1)如图1，求证：AD是⊙O的切线； (2)如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G． ①求证：AG＝BG； ②若AD＝2，CD＝3，求FG的长． 2. 给出如下定义：对于的弦和外一点（，，三点不共线，且，在直线的异侧），当时，则称点是线段关于点的关联点．图1是点为线段关于点的关联点的示意图． 在平面直角坐标系中，的半径为2． (1)如图2，，．在，，，三点中，是线段关于点的关联点的是 ； (2)如图3，，，点是线段关于点的关联点． ①的大小为 ； ②在第一象限内有一点，点是线段关于点的关联点，求点的坐标； ③点在直线上，当时，直接写出点的横坐标的取值范围 ． 3. 如图，在的内接四边形中，是它的对角线，的中点是的内心． (1)当，重合时，直接写出，的位置关系，数量关系,直接判断四边形的形状． (2)找出所有与线段相等的线段，并说明理由． (3)求，的面积之比． (4)若，设为，的面积为，求出与之间的函数关系式． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为点在轴的正半轴上，且，以点为圆心，1为半径画，与轴交于点（点在点的下方），点是的中点，点是上的一个动点，从点开始以5度/秒的速度沿圆周逆时针运动一周，设运动时间为t秒． (1)如图1，连接，当时，求t的值； (2)如图2，点P在运动过程中，连接，以为边在左侧作等边， ①当秒时，求点的坐标； ②连接，当最大时，求此时t的值和这个最大值． 5. 如图1，是半圆O的直径，是一条弦，的平分线交半圆O于点D．交于点G，于点E，交于点F，连接． (1)求证：； (2)过作的切线交延长线于点，如图2，当是中点时，求的值； (3)图1中，若，，求的长． 6. 如图1，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D． （1）填空：OD= AC；求证：MC是⊙O的切线； （2）若OD=9，DM=16，连接PC，求sin∠APC的值； （3）如图2，在（2）的条件下，延长OB至N，使BN=，在⊙O上找一点Q，使得的值最小，请直接写出其最小值为 ． 7. 如图1，在平面内点A，B，P，满足，若，则称点P，B是点A的直角等腰点；若，则称点P，B是点A的锐角等腰点． （1）如图2的网格中，A，B为格点，在图中分别画出格点P，使得点P，B是点A的直角等腰点或锐角等腰点． （2）如图3在平面直角坐标系中，点P在该直线：上点D在x轴上，半径为3的⊙D与x轴交于点C（在点D的左边）． ①当时，点C的坐标为，若点P，C是原点O的锐角等腰点，求P的坐标． ②若时，点C在点A的右边，点E在⊙D上，在直线l上恰好存在三个点P，使得点P，E是点C的直角等腰点，求P的纵坐标． 8. 如图，在中，，的垂直平分线分别与，及的延长线相交于点，，．是的外接圆，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，当时，求的值． 9. 已知：△ABC 内接于⊙O，过点 A 作⊙O 的切线交 CB 的延长线于点 P，且∠PAB=45°． （1）如图 1，求∠ACB 的度数； （2）如图 2，AD 是⊙O 的直径，AD 交 BC 于点 E，连接 CD，求证：AC CD ； （3）如图 3 ，在（2）的条件下，当 BC 4CD 时，点 F，G 分别在 AP，AB 上，连接 BF，FG，∠BFG=∠P，且 BF=FG，若 AE=15，求 FG 的长． 10. 如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x． (1)用关于x的代数式表示BQ＝　 ，DF＝　 ． (2)当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长． (3)当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为2，求AP的长． 11. 〖特例感知〗 （1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，，，求点D到直线AB的距离． 〖类比迁移〗（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由． 〖问题解决〗（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，，B