第一部分 第三章 专练2 二次函数与几何图形综合题（精练册）-【一战成名】2023山东中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·山东数学 第 三 章 函 数 专练２　二次函数与几何图形综合题 类型 １　线段及面积问题 例１　如图①，抛物线ｙ＝－ｘ２－３ｘ＋４与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点，与ｙ轴交于点Ｃ，连接ＡＣ． 例１题图① 基础练 １．求点坐标：抛物线的顶点坐标为　（－　，　）　，点Ａ的坐标为　（－４，０）　，点 Ｂ的坐标为　（１，０）　，点Ｃ的坐标为　（０，４）　； ２．求直线表达式：抛物线的对称轴是直线　ｘ＝－　　　　　，直线ＡＣ的表达式 为　ｙ＝ｘ＋４　； ３．用代数式表示：点Ｐ为第二象限内抛物线上一点，过点Ｐ作直线ＰＱ⊥ｘ轴于点Ｄ，交ＡＣ于点 Ｑ．若点Ｐ的横坐标为ｍ．请用含ｍ的代数式表示： ①点坐标：Ｐ　（ｍ，－ｍ２－３ｍ＋４）　，Ｑ　（ｍ，ｍ＋４）　，Ｄ　（ｍ，０）　； ②长度：ＰＤ＝　－ｍ２－３ｍ＋４　，ＱＤ＝　ｍ＋４　，点Ｐ到对称轴的距离为　｜ｍ＋　｜　，点Ｃ 到直线ＰＱ的距离为　－ｍ　，ＰＱ＝　－ｍ２－４ｍ　． 提高练 在例１的条件下解答下列问题． （１）①ＡＣ的长为　４槡２　； ②点Ｌ是ｘ轴上一点，当ＣＬ＝ＢＬ时，求点Ｌ的坐标；【２０２２滨州】 解：设Ｌ（ｎ，０），∴ＢＬ２＝（１－ｎ）２，ＣＬ２＝（０－ｎ）２＋４２， ∵ＣＬ＝ＢＬ，∴ＢＬ２＝ＣＬ２，即（１－ｎ）２＝（０－ｎ）２＋４２， 解得ｎ＝－１５２，∴点Ｌ的坐标为（－ １５ ２，０）． （１）变式 如图②，抛物线的对称轴为ｌ，若点Ｍ为ｌ上一点，求出使得ＢＭ＋ＣＭ最小时，点Ｍ的坐 标；【２０２１东营，２０２１烟台】 例１题图② 【点拨】点Ａ，Ｂ关于直线ｌ对称． 解：由抛物线的对称性可知，点Ａ和点Ｂ关于对称轴Ｌ对称，连接ＡＣ，与对称轴ｌ的交点即 为Ｍ，即当点Ａ，Ｍ，Ｃ共线时，ＢＭ＋ＣＭ有最小值，又∵直线ＡＣ的表达式为ｙ＝ｘ＋４， 当ｘ＝－３２时，ｙ＝ ５ ２，∴点Ｍ的坐标为（－ ３ ２， ５ ２）． 思考　△ＢＭＣ周长最小时点Ｍ的坐标又如何？ 答：∵ＢＣ长为定值，∴△ＢＭＣ周长最小时与ＢＭ＋ＣＭ最小时，点Ｍ的坐标相同． （２）如图③，点Ｐ为第二象限内抛物线上一点，过点Ｐ作ＰＤ⊥ＯＡ于点Ｄ，交ＡＣ于点Ｑ． ①当ＰＱ＝３时，求点Ｐ的坐标； ②求线段ＰＱ的最大值及此时点Ｐ的坐标；【２０２１东营，２０２０烟台】 例１题图③ 解：①设点Ｐ的坐标为（ｍ，－ｍ２－３ｍ＋４），则ＰＱ的长度为－ｍ２－４ｍ， 当ＰＱ＝３时，－ｍ２－４ｍ＝３，解得ｍ＝－３或－１， 当ｍ＝－３时，－ｍ２－３ｍ＋４＝４，当ｍ＝－１时，－ｍ２－３ｍ＋４＝６， ∴点Ｐ的坐标为（－３，４）或（－１，６）； ②∵ＰＱ＝－ｍ２－４ｍ＝－ｍ２－４ｍ－４＋４＝－（ｍ＋２）２＋４， ∴当ｍ＝－２时，ＰＱ的最大值为４，此时点Ｐ的坐标为（－２，６）． ５６ 一战成名·山东数学 第 三 章 函 数 （２）变式１　条件不变的情况下，如图④，过点Ｐ作ＰＨ⊥ＡＣ于点Ｈ，求线段ＰＨ的最大值；【２０２０枣庄】 例１题图④ 解：∵在Ｒｔ△ＡＯＣ中，ＯＡ＝ＯＣ，∴∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ＝４５°， 又∵ＰＤ⊥ＯＡ，∴∠ＤＱＡ＝∠ＯＣＡ＝４５°，∴∠ＰＱＣ＝４５°，∴ＰＨ＝ＰＱ·ｓｉｎ４５°， ∴当ＰＱ取得最大值时，ＰＨ也取得最大值，∴ＰＨ的最大值为４×槡２２＝２槡２． （２）变式２　当ＣＱＱＡ＝３时，求点Ｐ的坐标；【２０２０济南    】 【点拨】ＣＱ与ＱＡ被平行线ＰＤ与ＣＯ所截，则ＣＱＱＡ可转化为 ＯＤ ＤＡ． 解：∵∠ＰＤＡ＝９０°，∠ＣＯＡ＝９０°，∴ＱＤ∥ＣＯ，∴ＣＱＱＡ＝ ＯＤ ＤＡ＝ －ｍ ｍ＋４＝３，解得ｍ＝－３， ∴－（－３）２－３×（－３）＋４＝４，∴当ＣＱＱＡ＝３时，点Ｐ的坐标为（－３，４）． 例１题图⑤ （３）在（２）的条件下，如图⑤，连接ＰＢ，交ＡＣ于点Ｎ，连接ＰＡ． ①当ＰＮＮＢ＝ ３ ５时，求点Ｐ的坐标； ②ＰＮＮＢ是否有最大值？如有，请求出有最大值时点 Ｐ的坐标，如没有，请说明理 由；【２０２１泰安，２０２１日照，２０２０东营            】 【必备能力】构造“８”字相似———共线线段比值类问题的一般方法 獉獉獉獉 思维方式：ＰＮ，ＮＢ为共线 獉獉 线段，求它们的