5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时）——2022-2023学年高二上学期数学人教A版 （2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第一课时） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学习目标 1.巩固“利用导数研究函数的单调性”． 2. 利用导数求函数的极值． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一 新课引入 我们知道：在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减 问题：如果函数在某点两侧的导数符号相反，那么这点的函数值有什么特点？ 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二 讲授 新课 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大. 观察可知点(a,h(a)）的两侧的导函数符号左正右负，函数图像左增右减，h(a)是局部极大值 O t a b h h′（a）=0 h′（t）>0 h′（t）<0 h(t)单调递增 h(t)单调递减 如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 函数f(x)在x=a处的导函数左负右正，函数图像在x=a处左减右增，x=a的函数值比它附近的函数值都小；函数f(x)在x=b处导函数左正右负，函数图像在x=b处左增右减， x=b处的函数值比它附近的函数值都大；同理可以说 明x=c 、x=d、 x=e处的函数值的特点。 小结：1. 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。 2 .极值点的两侧的导数符号相反. 极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．如图所示： 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 例1 x=0 是否为函数 f(x)= x3 的极值点? 解：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2 当x=0时， f ′(0)=0 当x≠0时， f ′(x)>0 又因为函数 f(x)= x3是增函数 所以0不是函数 f(x)= x3的极值点. 注 ：若 f ′(x0)=0 ，则 x0不一定为极值点 x y O y＝x3 .跟踪练习：函数y=f ′(x)的图象如图所示,试找出函数f (x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？ 分析： x2, x4是函数f (x)的极值点,其导数为0. 其中x2左侧导数为正，右侧导数为负，x2是极大值点；x4左侧导数为负右侧导数为正，x4是极小值点. 例2 求函数f(x)=x3 -4x+4 极值 分析：函数f(x)=x3 -4x+4 定义域是R, f′(x)=x2 -4=(x+2)(x-2) 令f′(x)=0，得x=2或x=-2 f(x)的图像： x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞) f '(x) + 0 - 0 + f (x) 单调递增 单调递减 单调递增 -2 O x y 2 小结 一般地，可按如下方法求函数y=f (x)的极值：解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时： (1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值. ＋ － x0 － ＋ x0 三 课堂练习 求下列函数的极值： (1) f (x)=x3－27x; (2) f (x)=6+12x－x3. 分析 (1)函数f (x)的定义域为R, 且 f ′(x)=3x2－27， 令f ′(x)=0, 得x=±3.当 x 变化时，f ′(x) 与 f (x)的变化情况如下表： x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞) f '(x) + 0 - 0 + f (x) 单调递增 54 单调递减 －54 单调递增 所以, f (x)在x=－3时取得极大值, 且极大值为f (－3)=