2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与周长问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与周长问题 1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标和周长的最小值． （3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2．如图（1），抛物线y＝ax2+bx经过A和B（3，﹣3）两点，点A在x轴的正半轴，且OA＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M是抛物线上一动点，且在直线OB的下方（不与O、B重合），过M作MK⊥x轴，交直线BO于点N，过M作MP∥x轴，交直线BO于点P，求出△MNP周长的最大值及周长取得最大值时点M的坐标； （3）如图（2），过B作BD⊥y轴于点D，交抛物线于点C，连接OC，在抛物线上是否存在点Q使得S△OCD：S△OCQ＝3：2，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y＝x+2经过A、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E，过E作EF⊥y轴，交直线AC于点F，以DE、EF为边作矩形DEFG，矩形DEFG的周长能为10吗？如果能，请求出点E的横坐标；如果不能，请说明理由； （3）点P是抛物线上的一个动点，当∠PCA＝∠BCO时，请直接写出点P的坐标． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，3），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（点B在点A的右边），且OB＝OC． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值． （3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标． 5．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4； （1）试确定抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由； （3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ＝，点M是y轴上一个动点，求△AQM的最小周长． 6．如图，半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A，B两点，与y轴交于点C，顶点为M，直线BM与y轴交于点D． （1）求二次函数的解析式； （2）经过坐标原点O的直线l与⊙O1相切，求直线l的解析式； （3）试问在x轴上是否存在点P，使△PMD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标； （3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； 8．如图1，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．直线y＝2经过抛物线上两点D，E．已知点D，E的横坐标分别为x1，x2且满足x1+x2＝3，直线BC的表达式为y＝﹣x+n． （1）求n的值及抛物线的表达式； （2）设点Q是直线DE上一动点，问：点Q在什么位置上时，△QOB的周长最小？求出点Q的坐标及△QOB周长的最小值； （3）如图2，M是线段OB上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线BC和抛物线分别交于点P，N．若点F是直线BC上一个动点，当点P恰好是线段MN的中点时，在坐标平面内是否存在点G，使以点G，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴交于点A． （1）求该抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）动点P在y轴正半轴上，PB⊥y轴，交抛物线于B，C（B在点C右侧），设PB＝m． ①当点C平分线段BP时，求m的值； ②记△ABO的周长与△ABC的周长之差为L，求L与m的函数表达式． 10．如图，抛物线的图象与x轴交A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点T在第二象限的抛物线上