2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）和B（4，0）交y轴于点C，顶点为D，对称轴与BC交于点E，动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点． （1）求二次函数的解析式； （2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标； （3）连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于原点和点A（4，0），抛物线的顶点为点B． （1）求抛物线的解析式及点B的坐标； （2）△AOB是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； （3）若动点M从点A出发，以每秒2个长度单位的速度沿折线AO﹣OB的路径运动．动点N从点B出发，以每秒1个长度单位的速度，沿线段BA运动，当M、N其中一个点停止运动时另一个点也停止运动，设它们运动的时间为t（s），连接MN，MN分割△AOB，若分割出的三角形与△AOB相似，求t的所有取值． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（ac≠0）与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若线段OA、OB、OC的长满足OC2＝OA•OB，则这样的抛物线称为“黄金”抛物线．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）为“黄金”抛物线，其与x轴交点为A，B（其中B在A的右侧），与y轴交于点C，且OA＝4OB． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为AC上方抛物线上的动点，过点P作PD⊥AC，垂足为D． ①求PD的最大值； ②连接PC，当△PCD与△ACO相似时，求点P的坐标． 4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B（3，0）两点，与y轴交于C（0，﹣2），对称轴为直线x＝，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M， （1）求抛物线与直线BC的函数解析式； （2）设点M的坐标为（m，0），求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值； （3）若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得△CPN与△BPM相似，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由． 5．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点P在直线BC下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，并连接AC、CP． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BP，设四边形ABPC的面积为S，当S最大时，求点P的坐标及最大值； （3）如图②，过点P作PF⊥BC于点F，当以C、P、F为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标． 6．如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2），顶点为D，对称轴交x轴于点E． （1）求该二次函数的解析式； （2）设M为该抛物线上直线BC下方一点，是否存在点M，使四边形CMBE面积最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接CE（如图2），设点P是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．连接PE，请求出当△PQE与△COE相似时点P的坐标． 7．如图，已知抛物线经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）直接写出：b＝　 　，c＝　 　； （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D． （1）求直线AB的表达式； （2）求tan∠ABD的值； （3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标． 9．如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． （1）求点C及顶点M的坐标． （2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标． （3）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P