专题15 和幂运算有关的新定义问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题15 和幂运算有关的新定义问题 【例题讲解】 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把记作，读作“的圈次方”． 请你阅读以上材料并完成下列问题： (1)直接写出计算结果：＝　 　，＝　 　． (2)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算可以转化为乘方运算吗？经过尝试，我们发现： ； 仔细观察，将以下两个除方直接写成幂的形式．＝　 　；＝　 　． (3)计算：． 【详解】（1），， （2）， ， （3） 【综合解答】 1．如果10b=n，那么b为n的“劳格数”，记为b=d（n）．由定义可知：10b=n与b=d（n）表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：d（10）=____ ，d（10-2）=______； (2)“劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n）；根据运算性质，填空：=________．（a为正数） (3)若d（2）=0.3010，分别计算d（4）；d（5）． 【答案】(1)1，﹣2 (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】（1）由“劳格数”的定义运算转化为同底数幂解答即可； （2）根据幂的乘方公式转化求解即可； （3）根据积的乘方公式、幂的乘方转化求解即可. 【详解】（1）解：∵10b＝10， ∴b＝1， ∴d（10）＝1； 10b＝10﹣2，∴b＝﹣2， ∴d（10﹣2）＝﹣2； 故答案为1，﹣2； （2）解：∵d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）-d（n） ∴ 故答案为3； （3）解：∵d（2）＝0.3010， ∴d（4）＝2d（2）＝0.6020， d（5）＝d（）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.699． 【点睛】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键. 2．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3 (1)根据上述规定，填空：（5，25）＝                 ，（2，1）＝              ，（3，）＝                 ． (2)小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），并作出了如下的证明： 设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n． 所以3x＝4，即（3，4）＝x， 所以（3n，4n）＝（3，4）． 试解决下列问题： ①计算（8，1000）﹣（32，100000）； ②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（3，2）＋（3，5）＝（3，10）． 【答案】(1)2，0，-2 (2)①0；②见解析 【分析】（1）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可； （2）根据题中规定及幂的乘方运算进行计算即可． （1）解：∵ 52=25，∴（5，25）=2；∵20=1，∴（2，1）=0；∵∴故答案为：2，0，-2； （2）①（8，1000）-（32，100000）=（23，103）-（25，105）=（2，10）-（2，10）=0；②设3x=2，3y=5，则3x·3y=3x+y=2×5=10，所以（3，2）=x，（3，5）=y，（3，10）=x+y，所以（3，2）+（3，5）=（3，10）． 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方是解题的关键． 3．阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为，依此类推，排在第位的数称为第项，记为． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．如：数列1，3，9，27，为等比数列，其中，公比为．然后解决下列问题． (1)等比数列3，6，12，的公比为　　，第4项是　　． (2)如果已知一个等比数列的第一项（设为和公比（设为，则根据定义我们可依次写出这个数列的每一项：，，，，．由此可得第项　　（用和的代数式表示）． (3)若一等比数列的公比，第2项是10，求它的第1项与第4项． (4)已知一等比数列的第3项为12，第6项为96，求这个等比数列的第10项． 【答案】(1)2，24 (2) (3)第1项是5，第4项是40 (4)1536 【分析】（1）根据第一项是3，第二项是6求出公比为2，再根据第三项是12求出第四项为24； （2）发现的q的幂指数为项数减1，第n项； （3）用第二项的10除以公比2得第一项是5，第四项