专题14 与幂运算有关的规律性问题-【微专题】2022-2023学年七年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题14 与幂运算有关的规律性问题 【例题讲解】 阅读下面的文字回答后面的问题：求的值 解：令① 将等式两边同时乘以5到：② ②-①得： ∴即 问题：求的值； 【答案】 【分析】根据题目解题过程进行求解即可； 【详解】解：令① 将等式两边同时乘以2到：② ②-①得： ∴，即． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，正确理解题意，根据题目方法步骤进行求解是解题的关键． 【综合解答】 1．计算（n为正整数）的结果可以写成（　　） A．3 B．n C．3n﹣1 D．n•3n 【答案】B 【分析】根据乘方的意义即可得到结果． 【详解】解：原式＝＝n． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的意义解题关键是熟练掌握乘方定义和运算法则． 2．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是(   ) A．52013﹣1 B．52013+1 C． D． 【答案】D 【详解】令S=1+5+5²+5+…+， 则5S=5+5 ²++…++5， 5S−S=−1+5， 4S=5−1， 则S=. 故选D. 3．代数式（个相加，为正整数）化简的结果是______． 【答案】 【分析】根据合并同类项的法则，系数相加，字母和字母的指数不变，乘法是加法的简便运算，然后根据幂的意义得出答案． 【详解】】解：原式=aa.a =aa+1． 故答案为：aa+1． 【点睛】本题考查了合并同类项的法则，同底数幂乘法，牢记合并同类项的法则是解题的关键． 4．通过计算发现：，，……，则______． 【答案】-2 【分析】根据所给的等式可得：，再利用这一规律进行求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴ = = =-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 5．阅读材料：①1的任何次幂都等于1；②﹣1的奇数次幂都等于﹣1；③﹣1的偶数次幂都等于1；④任何不等于零的数的零次幂都等于1，试根据以上材料探索使等式（2x+3）x+2016＝1成立的x的值为_____． 【答案】﹣1或﹣2或﹣2016 【分析】根据1的乘方，﹣1的乘方，非零的零次幂，可得答案． 【详解】解：①当2x+3＝1时，解得：x＝﹣1， 此时x+2016＝2015，则（2x+3）x+2016＝12015＝1， 所以x＝﹣1． ②当2x+3＝﹣1时，解得：x＝﹣2，此时x+2016＝2014， 则（2x+3）x+2016＝（﹣1）2014＝1， 所以x＝﹣2． ③当x+2016＝0时，x＝﹣2016，此时2x+3＝﹣4029， 则（2x+3）x+2016＝（﹣4029）0＝1， 所以x＝﹣2016． 综上所述，当x＝﹣1，或x＝﹣2，或x＝﹣2016时，代数式（2x+3）x+2016的值为1． 故答案为：﹣1或﹣2或﹣2016． 【点睛】本题考查的是乘方运算，特别是乘方的结果为的情况，分类讨论的思想是解题的关键． 6．为了求的值，可令，则，因此，所以，请仿照以上推理计算：的值是 ___________ ． 【答案】 【分析】根据题意设，则，相减即可得出答案． 【详解】设， 则， 因此， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是理解清楚题中的解答方式并运用． 7．大于的正整数的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如：，，，，若“分裂”后，其中有一个奇数是，则的值是______． 【答案】45 【分析】根据题目中的式子，可以发现“分裂”后式子的特点，然后即可写出“分裂”后第一个奇数为，再根据“分裂”后，其中有一个奇数是，即可得到的值． 【详解】解：，，，， 可以分解为个连续奇数的和，且第一个奇数为， “分裂”后，其中有一个奇数是，当时，，当时，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现“分裂”后式子的特点． 8．观察下列等式的规律，解答下列问题： ①； ②； ③； （1）按此规律，第n个等式为_______________；（用含n的代数式表示，n为正整数） （2）按此规律，计算：__________． 【答案】          【分析】（1）观察已知等式，找到等式和序号的对应关系即可求解． （2）利用错位相减的方法求解． 【详解】解：（1）第1个式子， 第2个式子， 第3个式子， …… 以此类推，第n个式子为：； （2） ． 故答案为：（1）；（2）． 【点睛】本题考查数字类规律探索，根据已