空间位置关系的判断与证明强化训练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 空间位置关系的判断与证明强化训练 （原卷+答案） 考点一　点、线、面的位置关系——真有证据，假有反例 判断空间点、线、面位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例就可以． 例 1 在下列命题中，假命题是(　　) A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B．若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C．若平面α⊥平面β，任取直线l⊂α，则必有l⊥β D．若平面α∥平面β，任取直线l⊂α，则必有l∥β 对点训练 1.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则(　　) A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D．若m⊂α，l⊥n，n⊥α，则l∥m 2．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 考点二　空间角的基本计算——依照定义，转化角度 用平移法求异面直线所成的角是指通过平移异面直线中的一条或两条，找到异面直线所成的角，并求出该角．此种方法适用于规则几何体中的异面直线所成角的求解问题． 例 2 在长方体ABCD ­ A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　　) A．AB＝2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30° C．AC＝CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45° 对点训练 1.在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中点，P为AA1的中点，则直线PO与AD1所成的角为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． 2．已知正方体ABCD ­ A1B1C1D1，则不正确的是(　　) A．直线BC1与DA1所成的角为90° B．直线BC1与CA1所成的角为90° C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 考点三　空间中平行、垂直关系——思转化，用定理，得结论 1．直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α. (2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b. (3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β. (4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b. 2．直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α. (2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β. (4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β. 例 3 如图，在四棱锥P ­ ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 对点训练 1.如图，该几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形． (1)证明：平面ABC∥平面A1B1C1； (2)若AA1＝2AC，AC⊥AB，M为CC1的中点，证明：A1M⊥平面ABM. 2．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.F为AD的中点，连接EF. (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：平面AED⊥平面ABD. 考点四　平面图形的折叠问题——折叠前后“变”与“不变”是关键 1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图． 2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体的结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础． 3．准确定量：即根据平面图形翻折的要求，把平面图形中的相关数量转化为空间几何体的数字特征，这是准确进行计算的基础． 例 4 如图1是由△PB1C和△PB2C组成的一个平面图形，其中PA是△PB1C的高，PB1＝PB2，PA＝AB1＝4，AC＝4，将△PB1A和△PB2C分别沿着PA，PC折起，使得B1与B2重合于点B，G为PC的中点，如图2. (1)求证：PA⊥BC； (2)若CB2＝4