第1部分 第1章 命题点8 规律探索（必考）(精练册)-【一战成名】2023安徽中考数学考前新方案中考总复习

一战成名·安徽·数学 第 一 部 分 命 题 点 精 准 练 命题点８　规律探索（必考） 考向 １　“等式”之规律探索 １．（２０２２合肥庐阳区期末）观察下列算式２１＋ ３１＝５、２２＋３２＝１３、２３＋３３＝３５、２４＋３４＝９７、 ２５＋３５＝２７５、２６＋３６＝７９３、…，则 ２２０２２＋ ３２０２２的末位数字是 （　Ａ　） 　　　　 　　　　 　　　　Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．７ Ｄ．９ ２．（２０２２安徽１８题８分）观察以下等式： 第１个等式： （２×１＋１）２＝（２×２＋１）２－（２×２）２， 第２个等式： （２×２＋１）２＝（３×４＋１）２－（３×４）２， 第３个等式： （２×３＋１）２＝（４×６＋１）２－（４×６）２， 第４个等式： （２×４＋１）２＝（５×８＋１）２－（５×８）２， …… 按照以上规律，解决下列问题： （１）写出第５个等式： 　； （２）写出你猜想的第ｎ个等式（用含ｎ的式 子表示），并证明． 解：（１）（２×５＋１）２＝（６×１０＋１）２－（６× １０）２； （２）第ｎ个等式：（２ｎ＋１）２＝［（ｎ＋１）× ２ｎ＋１］２－［（ｎ＋１）×２ｎ］２， 证明：左边＝４ｎ２＋４ｎ＋１， 右边＝［（ｎ＋１）×２ｎ］２＋２×（ｎ＋１）×２ｎ ＋１２－［（ｎ＋１）×２ｎ］２ ＝４ｎ２＋４ｎ＋１， ∴左边＝右边，等式成立． ３．（２０２２滁州期末）观察下列等式： 第１个等式：１１－ １ １×２＋ １ ２＝１， 第２个等式：１２－ １ ２×３＋ ２ ３＝１， 第３个等式：１３－ １ ３×４＋ ３ ４＝１， 第４个等式：１４－ １ ４×５＋ ４ ５＝１， … （１）直接写出第５个等式： 　； （２）写出你猜想的第ｎ个等式 　 （用含ｎ的代数式表示），并证明你猜想的 等式． 解：（１）１５－ １ ５×６＋ ５ ６＝１； （２）由题意可得，第 ｎ个等式为 １ｎ－ １ ｎ（ｎ＋１）＋ ｎ ｎ＋１＝１， 证明：左 边 ＝ ｎ＋１ｎ（ｎ＋１）－ １ ｎ（ｎ＋１）＋ ｎ２ ｎ（ｎ＋１）＝ ｎ＋１－１＋ｎ２ ｎ（ｎ＋１） ＝ ｎ２＋ｎ ｎ（ｎ＋１）＝ ｎ（ｎ＋１） ｎ（ｎ＋１）＝１＝右边， ∴１ｎ－ １ ｎ（ｎ＋１）＋ ｎ ｎ＋１＝１成立                                                                   ． ７ 一战成名·安徽·数学 第 一 部 分 命 题 点 精 准 练 ４．（２０２２课标新增例题６６改编）观察以下等式： 第１个等式： １５×１５＝２２５＝（１×２）×１００＋２５， 第２个等式： ２５×２５＝６２５＝（２×３）×１００＋２５， 第３个等式： ３５×３５＝１２２５＝（３×４）×１００＋２５， 第４个等式： ４５×４５＝２０２５＝（４×５）×１００＋２５， …… 按照以上规律，解决下列问题： （１）写出第５个等式： 　； （２）写出你猜想的第ｎ个等式，并进行证明； （３）根据以上规律请计算２０２５２的值，并写 出计算过程． 解：（１）５５×５５＝３０２５＝（５×６）×１００ ＋２５； （２）第 ｎ个等式：（１０ｎ＋５）２＝１００ｎ（ｎ＋ １）＋２５， 证明：（１０ｎ＋５）２＝１００ｎ２＋２×５０ｎ＋２５＝ １００ｎ（ｎ＋１）＋２５， ∴等式成立； （３）２０２５２ ＝２０２×２０３×１００＋２５ ＝４１００６２５． ５．（２０２２合肥瑶海区期末）【阅读理解】 观察下列各等式： ４－２＝４×２－１； １６ ３－４＝ １６ ３×４ －１； （－４３）－（－２）＝（－ ４ ３）×（－２） －１；… （１）以上各等式都有一个共同的特征：某两 个实数的　差　等于　前一个实数乘以 后一个实数的负一次方　；如果等式左 边的第一个实数用 ｍ表示，第二个用 ｎ 表示，那么这些等式的共同特征可用含 ｍ、ｎ的等式表示为： 　； 【解决问题】 （２）将上面的等式变形，用含 ｎ的代数式表 示出ｍ； 【拓展应用】 观察下列各等式： １ １＋ ２ １＝ ３ １； １ －２＋ ２ ７＝ ３ －１４； １ ４＋ ２ －５＝ ３ －２０；… （３）请你再写出一个满足上式共同特征的等 式：　　　　　　　　　　． 解：（１）差，前一个实数乘以后一个实数的 负一次方，ｍ－ｎ＝ｍ×ｎ－１； （２）∵ｍ－ｎ＝ｍ×ｎ－１， ∴ｍ－ｎ＝ｍｎ，ｍ（１－ １ ｎ）＝ｎ， ｍ＝ｎ×（ ｎｎ－１）＝ ｎ２ ｎ－１， ∴ｍ＝ ｎ ２ ｎ－１； （３）１８＋ ２ －１３＝ ３ －１０４（答案不唯一）                     