1.4 角平分线（第2课时）-【高效课堂】2022-2023学年八年级数学下册同步精品课件(北师大版)

主讲：XXX 1.4 角平分线（第2课时) 北师大版八年级◑下册 教学 分析 典例 探究 巩固 提高 归纳 总结 1 教学目标 素养目标 技能目标 知识目标 经历合情推理和建模的过程，掌握“三角形三条角平分线交于一点”这一定理及证明过程，能够利用模型解决部分几何问题。 在证明过程中，发展学生转化思想及合情推理和演绎推理能力，使学生清晰地表达自己的想法。 获得利用转化思想分析问题和解决问题的基本方法，发展创新意识。 2 教学重难点 教学重点 教学难点 三角形三条角平分线交于一点的证明，三线共点问题的证明，独立进行合情推理，规范书写表达。 三线共点问题的证明，利用已有知识结局我一些几何问题及实际问题。 3 创设情境 引入新课 思考1： 如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库.要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置? 4 创设情境 引入新课 思考2：把你们准备好的三角形纸片对折三个角，三条折痕有什么关系？ 三条折痕（角平分线）相交于一点。 思考3：分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线相交于一点。 5 典例探究 深化新知 已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F. 求证：P 点在∠BAC 的角平分线上. M N 证明命题：三角形的三条角平分线相交于一点。 D E F 证明：∵BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC ∴PD = PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 同理：PE = PF. ∴PD = PE = PF. ∴点 P 在∠A 的平分线上（在一个角的内部，到角的 两边距离相等的点在这个角的平分线上）， 即∠A 的平分线经过点 P. 分析:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 证明过程中我们还知道，这个交点到三条边的距离相等。 6 数学符号语言如下： 归纳总结 认知升华 定理 三角形三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 ∵△ABC的三条角平分线相交于点P， ∴PD=PE=PF PD⊥AC,PE⊥AB,PF⊥BC 作用：证明线段相等,角度相等 D E F 典例探究 深化新知 例 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. （1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C = 90°，DE⊥AB，垂足为 E， ∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∵AC = BC ∴∠B = ∠BAC（等边对等角） ∵∠C = 90°， ∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE=90°– 45°= 45° ∴BE = DE（等角对等边）. 在等腰直角三角形 BDE 中 cm（勾股定理)， ∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm. 1 2 8 典例探究 深化新知 例 如图，在△ABC 中. AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E. （1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD. (2)证明：由(1)的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL) ∴AC=AE（全等三角形的对应边相等） 又∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 9 体验新知 学以致用 1. 已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C、D. 求证：（1）OC = OD；（2）OP 是 CD 的垂直平分线. O C D B P E A 证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴