2.5 一元二次方程的根与系数的关系课件2022-2023学年北师大版九年级数学上册

北师大版九年级上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 1 5、一元二次方程的求根公式是? 思考:方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗? 4、用判别式 b2 - 4ac 如何来判断一元二次方程根的情况? 一、复习导入 1、前面我们过学过一元二次方程,那么他的一般形式是什么? 2、其中a、b、c分别代表什么?其中谁有限制条件? 3、如果这个一元二次方程有实数根,需要满足什么条件? 1.解下列方程: 二、探究新知 方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2 x2 - 2x + 1 = 0 1 1 2 1 -1 2x2 - 3x + 1 = 0 1 6x2+7x-3=0 思考:如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,那么,你可以发现什么结论? 二、探究新知 思考:对于任何一个一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)都成立吗? 猜想: 证明:已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,则 二、探究新知 二、探究新知 证明:已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,则 一元二次方程的根与系数的关系 (韦达定理) 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,那么 1.满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 二、探究新知 2.转化为一般形式 方 程 x1+x2 x1·x2 x2-6x-10=0 3x2+7x-9=0 5x-2=4x2 不解方程,写出下列方程两个根的和与两个根的积: 6 -10 巩固理解 例1:利用根与系数的关系,求方程 的两根之和、两根之积. 三、知识运用 解:这里 a = 2 , b = -3 , c = -4. Δ = b2 - 4ac = (-3)2 – 4 ×2 × (-4) = 41 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -2 . 例2:已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 解:设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2, 其中x1=2 . ∴ x1 · x2=2x2= 即:x2= 由于x1+x2=2+ = 得:k=-7. 答:方程的另一个根是 ,k=-7. 三、知识运用 例2变式:已知方程5x2-7x+k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值. 三、知识运用 解:设方程 5x2-7x+k=0的两个根分别是x1、x2, 其中x1=2 . ∴x1+x2=2+ x2 = 即:x2= x1 · x2=2x2= k=-6. 答:方程的另一个根是 ,k=-6. 游戏 “我出题,你来答” 例3:已知x1,x2是方程x2-4x+1=0的两根, (1)求x12+x22的值 (2)求(x1-x2)2的值 三、知识运用 解: 由题意,得 x1 + x2= 4 ,x1·x2=1 ∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14 ∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12 总结常见的求值: (2) (x1-x2)2 (3) (x1+1) (x2+1) =x1x2+(x1+x2 )+1 = (x1+x2 )2-4x1x2 (1) x12 + x22 = (x1+x2 )2-2x1x2 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. = 13 1.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) 四、课堂检测 2.方程x2 +3kx +2k-1 = 0的两根互为倒数,求k的值. 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2,那么 你还有其它收获吗? 五、课堂小结 六、布置作业 课本P51 习题2.8 第1,2,3,4题 谢谢聆听 17 韦达(1540~1603),法国数学家。年轻时当过律师,后来致力于数学研究。第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数理论研究的重大进步。 他讨论了方程根的多种有理变换,发现了方程根与系数的关系(所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”),在欧洲被尊称为“代数学之父”。 在法国和西班牙的战争中,韦达利用精湛的数学方法,成功破译西班牙的军事密码,为他的祖国赢得战争主动权。 返回 $