7.4 平行线的性质教案2022-2023学年 北师大版数学八年级上册

4　平行线的性质 1．经历探索平行线的性质定理的过程，获得证明的体验． 2．掌握平行线的性质定理，并能够应用平行线的性质定理解决一些问题． 重点： 理解和简单应用本节课中的三个定理． 难点： 运用公理、定理进行简单的推理，以及用几何语言进行表述． 一、导入新课 提出问题： 1．平行线的判定方法有哪三种？它们是先知道什么，后知道什么？ 2．已知直线AB及其外一点P，画出过点P的AB的平行线． 3．根据同位角相等可以判定两直线平行，反过来如果两直线平行同位角之间有什么关系呢？内错角，同旁内角之间又有什么关系呢？ 二、探究新知 探究1　我们已经知道：两直线平行，同位角相等．如何证明这个性质呢？ 教材图7—8 同学们，我们证明定理的步骤是什么？ 学生稍加回忆，就能回答：画图，根据图形写出已知、求证，并设法证明． 那么，平行线的这个性质的图形该怎么画，如何写已知、求证？ 学生自主探究、交流讨论之后，可以得到： 已知：如教材图7－8所示，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB被直线EF截出的同位角． 求证：∠1＝∠2. 该如何证明呢？今天介绍一个特别的方法——反证法． 证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH＝∠2.如教材图7－9所示． 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD. 又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB与GH都与直线CD平行． 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾． 教材图7—9 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1＝∠2. 由此，我们证明了以下的定理． 定理：两直线平行，同位角相等． 有时，直接证明很困难，我们就证明命题的另一面不成立．也就是假设结论的反面不成立，推导出与已知条件、定理、基本事实矛盾，那么假设不成立，原命题成立． 探究2　我们可以证明其他两条性质吗？ 学生可以自己画出图形，写出已知、求证． 通过自主交流、同伴互助，学生基本可以口述定理证明的过程．教师规范地板书． 已知：如图，直线a∥b，∠4和∠2，∠2和∠3分别是直线a，b被直线c截出的内错角、同旁内角． 求证：∠1＝∠2，∠2＋∠3＝180°. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)． ∵∠1＝∠4(对顶角相等)， ∴∠2＝∠4(等量代换)． ∵∠1＋∠3＝180°(邻补角定义)， ∴∠2＋∠3＝180°(等量代换)． 因此可以得到： 平行线的性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 平行线的性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 【思考】平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？ 条件和结论的互换．平行线的性质定理是已知两直线平行，得到角的关系；而判定定理是已知角的关系，得到两直线平行． 探究3　如教材图7—11，b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线d截出的同位角． 求证：b∥c. 想一想，要证明b∥c，也就是要证明什么，该如何证明？ 学生自主探究、交流讨论，各小组派代表回答．其他小组补充．最后教师板书． 教材图7—11 证明：∵b∥a，c∥a， ∴∠1＝∠2，∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)， ∴∠2＝∠3(等量代换)， ∴b∥c(同位角相等，两直线平行)． 一般地，我们有如下定理： 平行于同一条直线的两条直线平行． 三、新知归纳 1．平行线的性质定理一：两直线平行，同位角相等． 2．平行线的性质定理二：两直线平行，内错角相等． 3．平行线的性质定理三：两直线平行，同旁内角互补． 4．平行线于同一条直线的两条直线平行． 四、典例剖析 例1　如图，已知AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A∶∠ABC＝2∶1，求∠ADB的大小． 思路分析：利用AD∥BC，可以建立∠A与∠ABC之间的一种数量关系，利用∠A∶∠ABC＝2∶1，又可以建立它们的另一种数量关系，从而发现更多的已知角． 解：∵AD∥BC(已知)，∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．又∵∠A∶∠ABC＝2∶1，∴∠ABC＝60°.∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝30°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°.(两直线平行，内错角相等)． 例2　如图，已知AB∥CD，∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的大小． 思路分析：平行线的性质共有3条，在实际解题时应根据实际情况灵活选择．另外，仔细分析已知条件获得更多结论是解题的关键 解：如图，过点E作EF∥AB(经过直线外一点有且只有一条直线和这直线平行)． 因为AB∥CD(已知)，AB∥EF(已作)， ∴CD∥EF(平行公理的推论)． ∴∠ABE＝∠1(两直线平行，内错角相等)． ∠CDE＝∠2(两直