不等式性质、基本不等式寒假作业-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

不等式性质、基本不等式 【知识梳理】 1．基本不等式： ≥ (a>0, b>0，当且仅当a＝b取等号)． ①若ab为定值，当a＝b时，a＋b有最小值2； ②若a＋b为定值，当a＝b时，ab有最大值()2. 2．几个重要不等式 ①≥≥≥(a>0, b>0)； ②a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； ③＋≥2(ab>0)； ④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 3．不等式性质： ①a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b. ②a>b，c>d⇒a＋c>b＋d. ③a>b>0，c>d>0⇒ac>bd. ④a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc. ⑤a>b，ab>0⇒<； a>0>b⇒>. ⑥a>b>0，m>0⇒<. 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1．(★)已知M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则M，N的大小关系是(　　) A．M>N B．M≥N C．M<N D．M≤N 2．(★)若a，b，c，d∈R，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，c>d，则ac>bd B．若a>b，则ac2>bc2 C．若a>b，则a－c>b－c D．若a<b<0，则< 3．(★★)已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤2x－y≤5，则y的取值范围是(　　) A. B. C. D. 4．(★★)不等式ax2－bx＋c>0的解集为，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象大致为(　　) 5．(★★)科学记数法是一种记数的方法．把一个数x表示成a与10的n次幂相乘的形式，其中1≤a<10，n∈N.当x>0时，lg x＝k＋lg a．若lg 2≈0.301，则数列中的项是七位数的有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、多选题 6．(★)已知a＋b＝2，则(　　) A．ab≤1 B.＋≥3 C．2a＋2b≥4 D．a2＋b2≥2 7．(★★)已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则(　　) A．xy的取值范围是 B．x＋y的取值范围是[2，＋∞) C．x＋4y的最小值是3 D．x＋2y的最小值是4－3 三、填空题 8．(★★)函数y＝(x>2)的最小值为________． 9．(★★)a>b>c，n∈N*，且＋≥恒成立，则n的最大值为________． 10．(★★★)已知关于x的方程ax2－2|x|＋a＝0有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是__________． 四、解答题 11．(★★)若关于x的不等式(2x－1)2＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围． 12．(★★)某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)m万件与年促销费用x万元满足关系式m＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2022年生产该批次产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)． (1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 13．(★★★)已知函数f(x)＝＋. (1)求不等式f(x)≤3的解集M； (2)设M中的最小的数为m，正数a，b满足a＋b＝3m，求＋的最小值． 答案 一、单选题 1．A　【解析】M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N.故选A. 2．C　【解析】对于A，若a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，则ac＝bd＝－2，所以A错误；对于B，若c＝0，则ac2＝bc2＝0，所以B错误；对于C，因为a>b，所以由不等式的性质可得a－c>b－c，所以C正确；对于D，因为a<b<0，所以ab>0，所以<，即<，所以D错误，故选C. 3．C　【解析】令x－y＝m，2x－y＝n，则 ∵－4≤x－y≤－1，－1≤2x－y≤5，即－4≤m≤－1，－1≤n≤5， ∴2≤－2m≤8，则1≤n－2m≤13，即1≤y≤13. 故选C. 4．C　【解析】∵不等式ax2－bx＋c>0的解集为， ∴∴ y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax－2a＝a(x2－x－2)，图象开口向下，两个零点为2，－1. 故选C. 5．B　【解析】数列中的项是七位数的满足106≤2n<107，同时取对数得6≤nlg 2<7，所以≤n<，由已知lg 2≈0.301，代入得20≤n≤23，且n∈N，所以符合条件的n值有4个，数列中的项是七位数的有4个． 故选B. 二、多选题 6．ACD　【解析】因为ab＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1≤1，A正确；当a＝－1