7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

直线 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 情境导入 l 在解决求判别式小于的实数系一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？复数概念的引入与这种想法直接相关. l 探究1：我们知道，方程在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 从方程的角度看，负实数能不能开平方，就是方程有没有解，进而可以归结为方程有没有解. 新知探索 回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关.例如，为了解决正方形对角线的度量，以及这样的、方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集.数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得. 是数学家欧拉(Le-onhard Euler，1707-1783)最早引入的，它取自(想象的，假想的)一词的词头. 新知探索 思考1：把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？ 依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作.注意到所有实数以及都可以写成()的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中. 我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.这样，方程在复数集中就有解了. 新知探索 复数通常用字母表示，即.以后不作特殊说明时，复数 都有，其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 在复数集中任取两个数.我们规定：与相等当且仅当且. 对于复数， 当且仅当时，它是实数；当且仅当时，它是实数； 当时，它叫虚数；当且时，它叫做纯虚数. 新知探索 答案：×,√，×. 辨析1.判断正误. (1)复数是纯虚数.( ) (2)若为实数，则一定不是虚数( ) (3)实数集和虚数集的交集不是空集.( ) 辨析2.已知复数满足，则 答案：. 新知探索 例如，，，，都是虚数，它们的实部分别是，， ，，虚部分别是，，，，并且其中只有是纯虚数. 思考2：复数集与实数集之间有什么关系？ 显然，实数集是复数集的真子集，即. 这样，复数可以分类如下： 复数 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用右图表示. 例析 例1.当实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数. l 解(1)：当，即时，复数是实数. (2)当，即时，复数是虚数. (3)当，且时，即时，复数是纯虚数. 练习 题型一：复数的有关概念 例1.(多选)下列说法中错误的是（ ）. A.复数的虚部是 B.形如的数一定是虚数 C.若，，则是纯虚数 D.若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 解：复数的虚部是，A正确；形如的数不一定是虚数，B错误；只有当时，是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B、C. 答案：BC. 练习 方法技巧： 判断与复数有关的命题是否正确的方法 1.举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般；先否定，后肯定”的方法进行解答. 2.化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为的形式，更要注意这里均为实数时，才能确定复数的实、虚部. 【注：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记的性质.】 练习 变2.下列说法中正确的是( ). A.复数由实数、虚数、纯虚数构成 B.若复数是虚数，则必有 C.在复数中，若，则复数一定不是纯虚数 D.若且，则 答案：C. 解：选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数是虚数，则必有，但可以；选项C正确，若复数是纯虚数，必有，，因此只要，复数一定不是纯虚数；选项D错误，当时，与都是虚数，不能比较大小. 练习 题型二：复数的分类 例2.当为何实数时，复数. (1)是虚数；(2)是纯虚数. 解(2)：当即或时，是纯虚数. 解(1)：当即或时，是虚数. 练习 方法技巧： 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 1.利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式，若不是这种形式