2023年数学中考专题专练--相似三角形与圆的综合应用

2023年数学中考专题专练-相似三角形与圆的综合应用 1.如图,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,OD⊥AB,与AC交于点E,与过点C的⊙O的切线交于点D. (1)若AC=4,BC=2,求OE的长. (2)试判断∠A与∠CDE的数量关系,并说明理由. 2.如图,以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点,连结PC交AB于点E,且∠ACP=60°,PA=PD. (1)试判断PD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若点C是弧AB的中点,已知AB=4,求CE•CP的值. 3.如图,在△ABC中,AB=AC,DE⊥AC交BA的延长线于点E,交AC于点F. (1) 求证:DE是⊙O的切线; (2) 若AC=6,tanE= ,求AF的长. 4.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为点D,AD交⊙O于点E,连接CE,CB. (1)求证:CE=CB; (2)若AC=2 ,CE= ,求AE的长. 5.如图,MN是⊙O的直径,QN是⊙O的切线,连接MQ交⊙O于点H,E为上一点,连接ME,NE,NE交MQ于点F,且ME2=EF•EN. (1)求证:QN=QF; (2)若点E到弦MH的距离为1,cos∠Q=,求⊙O的半径. 6.如图,已知AB是⊙O的直径,P为⊙O外一点,且OP∥BC,∠P=∠BAC. (1)求证:PA为⊙O的切线; (2)若OB=5,OP= ,求AC的长. 7.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,以BC为直径的⊙O与AC相交于点D,过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E,垂足为点F. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径R=5,tanC= ,求EF的长. 8.如图,A是以BC为直径的⊙O上的一点,AD⊥BC于点D,过点B作⊙O的切线,与CA的延长线相交于点E,点F是EB的中点,连结CF交AD于点G (1)求证:AF是⊙O的切线; (2)求证:AG=GD; (3)若FB=FG,且⊙O的半径长为3 ,求BD. 9.如图,AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,CO⊥AB于点O,弦CD与AB交于点F,过点D作∠CDE,使∠CDE=∠DFE,交AB的延长线于点E.过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G. (1)求证:GE是⊙O的切线; (2)若OF:OB=1:3,求AG的长. 10.如图,已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点 F,点E是DB延长线上的一点,∠EAB=∠ADB. (1)求证:AE是⊙O的切线; (2)已知点B是EF的中点,连接BC,求证:△EAF∽△CBA. (3)已知AF=4,CF=2,在(2)的条件下,求AE的长. 11.如图,在⊙O中,点P为直径BA延长线上一点,直线PD切⊙O于点D,过点B作BH⊥PD,垂足为H,BH交⊙O于点C,连接BD. (1)求证:BD平分∠ABH; (2)如果AB=10,BC=6,求BD的长; (3)在(2)的条件下,当E是弧AB中点,DE交AB于点F,求DE•DF的值. 12.如图,在 中, , 的平分线交 于点 ,点 是 上一点, 过 、 两点,且分别交 、 于点 、 . (1)求证: 是 的切线; (2)已知 , ,求 的半径 . 13.如图,已知△ABC内接于⊙O,D是⊙O上一点,连结BD、CD,AC、BD交于点E. (1)请找出图中的相似三角形,并加以证明(不添加其他线条的情况下); (2)若∠D=45°,BC=4,求⊙O的面积. 14.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA. (1)求证:BC=CD; (2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2 ,求⊙O的半径. 15.如图,△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,点E为AC延长线上一点,且∠BAC=2∠CDE. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若cosB= ,CE=2,求DE. 16.如图,已知AB是⊙O的直径,,连接OC,弦,直线CD交BA的延长线于点E. (1)求证:直线CD是⊙O的切线; (2)若,,求OC的长. 17.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,经过B、D两点的⊙O交AB 于点E,交BC于点F,EB为⊙O的直径. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)当BC=2,cos∠ABC= 时,求⊙O的半径. 18.如图, 是 的外接圆, 是 的直径,点D在 上, 平分 ,过点C的切线交直径 的延长线于点E,连接 、 . (1)求证: ; (2)若 ,求 的长. 19.如图,在△ABC中,∠A=45°,以AB为直径的⊙O经过AC的中点D,E为⊙O上的一点,连接DE,BE,DE与AB交于点F. (1)求证:BC为⊙O的切线; (2)若F为