拓展一：用导数研究曲线的切线问题的十种类型-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

拓展一：用导数研究曲线的切线问题的十种类型 用导数研究曲线的切线是高考一个主要考点，常与解析几何知识交汇命题，旨在考查同学们对导数的几何意义的正确理解。主要涉及求曲线切线的斜率与方程、曲线切线的条数、曲线的公切线、满足条件的切线是否存在及满足条件的切线的参数范围等问题。 1、 导数的几何意义： 函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(即（为切线的倾斜角）)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 注：曲线在点处的切线是指P为切点，斜率为的切线，是唯一的一条切线。但曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点。 2、求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法 （1） 已知切点，求y＝f (x)过点P的切线方程 求曲线在处切线的步骤： ◆先求，即曲线在处切线的斜率． ◆再求，则切线过点； ◆最后由点斜式写出直线方程：． 特别的，如果在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：． （2）已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程； （3）已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程． （5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上． (6)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 考点一 求曲线切线的斜率 1．（2022秋·江苏扬州·高二扬州中学校考阶段练习）曲线在点处的切线的斜率为____________． 2．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考阶段练习）曲线在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2022秋·湖南岳阳·高二校联考期中）函数在处切线的斜率为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2022秋·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ． 考点二 曲线在某点处的切线问题 （1） 已知曲线和切线斜率，求切点坐标 5．（2022秋·湖南邵阳·高二统考期末）已知曲线上过切点的一条切线的斜率为1，则___________. 6．（2023秋·江苏·高二统考期末）曲线的一条切线的斜率为（为自然对数的底数），该切线的方程为 ____． 7．（2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考阶段练习）已知函数的图像在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（    ） A．7 B． C． D．4 8．（2022秋·陕西西安·高二西安中学校考阶段练习）直线与曲线相切，则切点的横坐标为_________． （2） 已知切点和切线斜率，求曲线 9．（2022·天津宁河·天津市宁河区芦台第一中学校考一模）设曲线在点处的切线方程为，则___________. 10．（山西省部分学校2023届高二上学期期末数学试题）已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______. 11．（2022秋·山西·高二校联考阶段练习）若函数的图象在点处的切线方程为，则（    ） A．1 B．0 C．－1 D．e 12．（2022秋·河南安阳·高二安阳一中校考期末）已知函数的图象在点处的切线方程是，则等于（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣2 （3） 已知曲线和切点，求切线方程 13．（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数，则曲线在处的切线方程为__________. 14．（2023秋·北京朝阳·高二统考期末）设函数，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．（2022秋·福建福州·高二校考期末）设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 16．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考阶段练习）已知函数为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为___． 17．（2023·高二课时练习）已知，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积S． 考点三 过某点的曲线的切线问题 18．（2022秋·江苏南通·高二期末）已知函数，则曲线经过点的切线方程是______． 19．（2022秋·