河北省石家庄市平山县外国语中学2022-2023学年高二上学期数学寒假作业3.1.2 椭圆的简单几何性质综合练习

河北省石家庄市平山县外国语中学高二年级寒假数学作业3.1.2 椭圆的简单几何性质综合练习 一、单选题 1．椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点P为椭圆C的上顶点，直线与椭圆C交于A，B两点，若的斜率之积为，则椭圆C的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．3 D．6 3．如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．下面是对曲线的一些结论，正确的结论是（    ） ①的取值范围是； ②曲线是中心对称图形； ③曲线上除点，外的其余所有点都在椭圆的内部； ④过曲线上任一点作轴的垂线，垂线段中点的轨迹所围成图形的面积不大于； A．①②④ B．②③④ C．①② D．①③④ 7．已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（    ） A． B．1 C．2 D． 8．已知O为坐标原点，P是椭圆E：上位于x轴上方的点，F为右焦点.延长PO，PF交椭圆E于Q，R两点，，，则椭圆E的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（    ） A．为定值 B．的周长的取值范围是 C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为 10．（多选）已知，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．当时，满足的点有2个 B．当时，满足的点有4个 C．的周长小于 D．的面积大于等于 11．椭圆，，分别为左、右焦点，，分别为左、右顶点，P为椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆C的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 12．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．如图，一个半径为的球置于水平地面上，受到与水平地面的夹角为的太阳光照射，球在地面的影子边缘是一个椭圆，则椭圆的离心率为______． 14．已知椭圆，过点作直线l交椭圆C于A，B两点，且点P是AB的中点，则直线l的方程是__________. 15．如图，已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，A为C上位于第一象限内的一点，与y轴交于点B，若，则C的离心率为______． 16．已知椭圆的两个顶点在直线上，分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，则的值为__________． 四、解答题 17．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点和. 18．已知椭圆：()的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线经过的左焦点且与相交于、两点，以线段为直径的圆经过椭圆的右焦点，求的方程． 19．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m． 20．已知椭圆的左､右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线. (1)若椭圆W的左顶点A关于直线的对称点在直线上，求m的值； (2)过F的直线与椭圆W相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合），直线与直线相交于点M，求证：A，D，M三点共线. 21．已知点P是椭圆上一动点，分别为椭圆的左焦点和右焦点，的最大值为，圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）过圆O上任意一点Q作圆的的切线交椭圆C于点M，N，求证：以为直径的圆过点O． 22．椭圆经过点且离心率为；直线与椭圆交于A，两点，且以为直径的圆过原点. (1)求椭圆的方程； (2)若过原点的直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的最大值。 参考答案 1--8CBDDA CAB 9．ACD 10．ABC 11．AC 12．AC 13． 14． 15． 16． 17．(1)由已知,，，得：，，从而. 所以椭圆的标准方程为. (2) 由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的