2023年中考数学专题专练--锐角三角函数与圆的综合应用

2023年中考数学专题专练--锐角三角函数与圆的综合应用 一、综合题 1．在△ABC中，∠B=135°，AB= ，BC=1． （1）求△ABC的面积； （2）求AC的长． 2．如图，AB为⊙O的直径，BC是⊙O的一条弦，点D在⊙O上，BD平分∠ABC，过点D作EF⊥BC，分别交BA、BC的延长线于点E、F. （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若BD＝4 ，tan∠FDB＝2，求AE的长. 3．如图， ，以 为直径的 交 于点D，点E为弧 的中点，连结 交 于点F，且 . （1）判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 的半径为2， ，求 的长. 4．如图，AB是圆O的直径，PB，PC是圆O的两条切线，切点分别为B，C．延长BA，PC相交于点D． （1）求证：∠CPB=2∠ABC． （2）设圆O的半径为2，sin ∠PBC= ，求PC的长． 5．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q. （1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长； （2）求证：FQ=BQ 6．如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD． （1）求DC的长； （2）求cosB的值． 7．如图，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上， = ，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F． （1）求证：CF=BF； （2）若cos∠ABE= ，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6．求证：直线CM是⊙O的切线． 8．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB＝∠EPB. （1）求证：PB是⊙O的切线. （2）若PB＝3，tan∠PDB＝ ，求⊙O的半径. 9．如图，已知等边△ABC的边长为6，点O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边AC，AB分别交于点D，E，过点D作DF⊥BC于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）连结EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径． 10．如图，在三角形ABC中，AB=6，AC=BC=5，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF是⊙O的切线，D为切点，交CB的延长线于点E． （1）求证：DF⊥AC； （2）求tan∠E的值． 11．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O 上，点P是直径AB上的一点，（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q． （1）点D在线段PQ上，且DQ=DC．求证：CD是⊙O的切线； （2）若sin∠Q= ，BP=6，AP=2，求QC的长． 12．如图，已知：射线PO与⊙O交于A、B两点，PC、PD分别切⊙O于点C、D． （1）请写出两个不同类型的正确结论； （2）若CD=12，tan∠CPO= ，求PO的长． 13．已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A. （1）求证：CD为⊙O的切线； （2）过点C作CE⊥AB于E.若CE＝2， ，求⊙O的半径. 14．如图，已知A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，P是直径CD的延长线上的一点，且AP＝AC. （1）求证：AP与OO相切； （2）如果PD＝3，求AP的长． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D，DE⊥AC，垂足为E，交AB的延长线于点F． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若∠C＝60°，AC＝12，求 的长． （3）若tanC＝2，AE＝8，求BF的长． 16．如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°． （1）求证：BC为⊙O的切线． （2）若sinA= ，BC=6，求⊙O的半径． 17．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，D是AB上的一点，过点D作AB的垂线，与线段BC交于点E，点F在线段DE的延长线上，且满足FC＝FE． （1）求直线CF与⊙O的公共点个数； （2）当点E恰为BC中点时，若⊙O的半径为5，tanA＝ ，求线段CF的长． 18．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AB于点F，交AC的延长线于点E． （1）判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若AF=6，sinE= ，求BF的长． 19．