7.1.1数系的扩充和复数的概念教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

数系的扩充和复数的概念 ——教学设计 课题 数系的扩充和复数的概念 教材 新人教A版高中教科书数学必修第二册第七章第一节 课型 概念新授课 课时安排 第一课时 一、教材分析 · 简述教材内容：《数系的扩充和复数的概念》是新人教A版高中数学必修第二册第七章第一节的内容。本节包括数系的扩充和复数的概念。教材从解一元二次方程入手，展开对负数开平方的探究，从而引出数系的扩充过程和方法，进一步总结复数的概念及其分类、性质。 · 从知识结构分析：本节内容是在前有数集的基础上对数系进行扩充引出复数集，完成了高中阶段最后一次数系的扩充；另外复数的概念又为后面学习复数的几何意义、复数代数形式的四则运算奠定基础。因此，本节具有承前启后的作用，也是本章的重点内容。 · 从方法论的角度分析：借助前数集的扩充经验，在实数集的基础上通过类比、化归、从特殊到一般的思想方法扩充得到复数集；在探究复数的分类和性质方面涉及有分类讨论、类比推理等思想方法，从而发展学生的直观想象能力、数学抽象能力、逻辑推理能力和数学运算能力。 · 从课标要求的角度分析：课标对本节课的要求是“通过方程的解认识复数；注重对复数的代数表示的理解；适当融入数学文化，让学生体会数系过程中理性思维的作用”，因此，本节课将从社会发展和解方程（主）两个角度入手，重点探究实数集的扩充过程及复数的概念形成，同时融入与复数有关的数学史，让学生感受数系发展和形成的历史背景。 二、学情分析 1.认知基础 （1）学生的知识储备：已学习自然数集、整数集、有理数集和实数集及其性质，能在特定数集上熟练解决一元一次方程；已有一定的从特殊到一般的思想方法的经验，有利于自主形成复数的概念。 （2）学生的学习特点：高二阶段的学生求知欲强，对历史、社会充满好奇心，具有一定观察、分析、解决问题的能力，抽象思维能力处于迅速发展阶段，逻辑思维和推理能力初步形成。 2.认知困难 （1）对负数开平方带有不确定性，缺乏对负数开平方的条件的清晰认识； （2）对复数引入的实际意义、实际应用的理解。 三、教学目标 1.知识与技能 （1）了解数系的扩充过程和引入复数的必要性； （2）理解复数的概念及代数表示； （3）掌握复数的分类及复数相等的条件。 2.过程与方法 （1）经历理性分析数系扩充的过程，运用类比推理的方法实现从实数系向复数系的扩充，感悟引入虚数的必要性及合理性； （2）引导运用化归、从一般到特殊的思想方法引入虚数单位i，构建复数的概念，培养学生的逻辑思维和抽象能力； （3）通过观察、分析获得复数的分类和相等性质，体会知识获得的过程和与旧知的内在联系，培养分析问题、解决问题的能力。 3.情感态度与价值观 （1）体会数系扩充过程中数系结构与数的变化，感受人类理性思维的作用与现实世界的联系，形成正确的数学观； （2）感受引入虚数的引入过程，培养学生的创新意识和创新能力； （3）拓展数学视野，逐步认识到数学的科学价值、应用价值和文化价值。 四、教学重点、难点 重点 （1）数系扩充的过程和方法； （2）对i的规定和理解复数的概念。 难点 虚数单位i的引入和复数概念的理解。 五、教学用具 黑板，多媒体，PPT，小蜜蜂 六、教学流程 七、教学过程 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图 (一) 温 故 知 新 铺 设 台 阶 从社会和数学两个角度带领学生回顾数系的扩充过程。 【问题1】截至目前，我们都学习过哪些数集？这些数集之间有什么关系？ 预设回答：自然数集、整数集、有理数集、实数集。后面的数集包含前面的数集，即后一个数集是前一个数集的扩充。 【追问】为什么要扩充数系？ 预设回答：满足社会发展需要和解决数学内部矛盾。 【数学史】 从满足社会发展需要的角度，以图文结合的形式简单回顾数系扩充的过程。 【解方程】 从解决数学内部矛盾的角度，通过在特定数集中求解方程回顾数系的扩充过程。 在自然数集有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时自然数集扩充为何数集？ 在整数集中有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时整数集扩充为何数集？ 在有理数集中有解吗？若无解，引入什么新数后有解？此时有理数集扩充为何数集？ 【总结】数系扩充的原则 （1） 增加新元素； （2） 加法与乘法满足交换律、结合律及分配律均得到保留； （3） 新数系能解决旧数系中的矛盾。 教师引导学生复习旧知，通过多媒体带领学生从数学史和解方程两个角度回忆数系的扩充过程，最后总结数系的扩充原则。 学生回忆、思考并回答。 从社会发展的角度回顾数系的扩充过程，一方面让学生感悟数学与生活息息相关，另一方面以图文的形式进行有利于调动学生学习的积极性；从方程的角度分析是导入的重点，在回顾复习数集的扩充过