12.3角的平分线的性质 课件2022-2023学年人教版八年级数学上册

角的平分线的性质 人教版 八年级数学上 1 0 (1)两个三角形全等的判断方法有哪些? SSS,SAS,AAS,ASA,HL (2)三角形中有哪些重要线段? 三角形中有三条重要线段,它们分别是:三角形的高,三角形的中线,三角形的角的平分线. (3)从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做 . 点到直线的距离 复习回顾 2 0 1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 ∠1=∠2= ∠AOB. 探究一:角的平分线的作法 请同学们拿出准备好的角,用你自己的方法画出它的角平分线,然后与大家交流分享. 4 0 探究一:角的平分线的作法 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线. 你能说明它的道理吗? A D B C A D B C E E (1)角平分仪由什么构成? (2)角平分仪如何使用? (3) ∠ DAC和∠ BAC相等 的依据是什么? 思考: 5 0 理由如下:如图构成了△ADC和△ABC, ∵在△ADC和△ABC中, AD=AB, AC=AC, DC=BC, ∴△ADC≌△ABC(SSS),∴ ∠DAC=∠BAC. ∵点C在射线AE上, ∴AE是这个角的平分线. A D B C E 如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线. 你能说明它的道理吗? 原理:两个三角形全等,则对应角相等。 A B O M N C 作法: 用尺规作角的平分线 第一步:以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N; 第二步:分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C; 第三步:作射线OC。 则射线OC即为所求。 探究一:角的平分线的作法 思考: 1.在上面作法的第二步中,去掉“大于 的长”这个条件行吗? 2.第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗? 总结: 1.去掉“大于 的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线. 2.若分别以B、D为圆心,大于 的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠MAN的内部,也可能在∠MAN的外部,而我们要找的是∠MAN内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了. 8 0 探究一:角的平分线的作法 练一练: 任意画一角∠AOB,作它的平分线. 9 0 平分平角∠AOB,通过上面的步骤得到射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系? A B O C D 结论:作平角的平分线即可平分平角, 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。 把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把纸片展开后的折痕就是这个角的平分线。如果不展开纸片,而是继续进行对折再展开,会有什么变化?这些变化有什么规律? 探究二:角的平分线的性质 小组讨论 探究二:角的平分线的性质 如图,将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开. OC表示∠AOB的角平分线,PD和PE分别表示P到OA和OB的距离,P到角两边的距离相等(PD=PE) 12 0 你能用三角形全等证明这个性质吗? 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 由此得到角的平分线的性质: (1)“点”是指角的平分线上任意位置的点; (2)“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度. 如何证明几何命题?: 1、明确命题中的已知和求证; 2、根据题意,画出图形,并用数学符号 表示已知和求证; 3、经过分析,找出由已知推出求证的途径, 写出证明过程。 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 探究二:角的平分线的性质 以上结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 成立吗?请证明. 证明: ∵ PD⊥OA,PE⊥OB (已知) ∴ ∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义) ∠PDO = ∠PEO(已证) ∠AOC = ∠BOC (已知) OP=OP (公共边) ∴ PD=PE(全等三角形的对应边相等) 在 PDO和 PEO中 ∴ PDO ≌ PEO(AAS) 15 0 探究二:角的平分线的性质 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言: ∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D、E.(已知) ∴ PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等) 16 0 探究三:用角的平分线的性质解决简单问题 例1 (1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形( )中PD=PE. A B C D 【思路点拨】利用角平分线的性质时,非常重要的条件是PD和PE是到角