5.2.1三角函数的概念课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的概念 环节二 三角函数的概念（二） 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 确定方案 问题1 前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验，你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？ 答案：根据一般函数的研究路径，接下来应该研究三角函数的图象与性质，但是三角函数与其他函数不同，三角函数是通过单位圆上点的坐标或坐标比值定义的，而单位圆具有丰富的几何性质，这种性质反映到三角函数上，就会呈现出丰富的性质．所以，我们可以从定义出发，结合单位圆的性质直接得到一些三角函数所特有的性质． 2 1．发现规律 问题2 由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交点所在的象限，你发现正弦函数、余弦函数和正切函数的值的符号有什么规律？如何用集合语言表示这种规律？ 答案：对于正弦函数，当角α的终边位于x轴上方时，sinα＞0；当角α的终边位于x轴下方时，sinα<0；当角α的终边位于x轴上时，sinα=0． 用集合语言表示的结果是： 当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ+π，k∈Z}时，sinα＞0； 当α∈{β|2kπ+π＜β＜2kπ+2π，k∈Z}时，sinα＜0； 当α∈{β|β=kπ，k∈Z}时，sinα=0．其他两个函数也有类似结果． 新知探究 3 2．应用规律 答案：先证充分性．因为①式sinθ＜0成立，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合；又因为②式tanθ＞0成立，所以θ角的终边可能位于第一或第三象限． 因为①②式都成立，所以θ角的终边只能位于第三象限．于是角θ为第三象限角． 再证必要性．因为角θ为第三象限角，由定义①②式都成立． 新知探究 例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件是 4 3．发现规律 答案： 可以研究取值的规律． 问题3 前面研究了三角函数值的符号规律，你认为接着可以研究什么问题？ 新知探究 5 3．发现规律 答案： （1）三角函数值相等、互为相反数等等． （2）发现终边相同的角的三角函数值相等．用符号语言表示为： sin(α+k∙2π)=sinα，cos(α+k∙2π)=cosα，tan(α+k∙2π)=tanα，其中k∈Z． 这组公式称为“诱导公式一”． 追问1 （1）三角函数的取值规律中，你认为有哪些特殊情况值得研究？ （2）前面研究过终边相同的角，那么它们的三角函数值之间有什么关系呢？请用符号语言表示你发现的规律． 新知探究 6 3．发现规律 答案： （1）诱导公式一体现了三角函数值有“周而复始”的变化规律，这是“单位圆上的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映． （2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了． 追问2 （1）观察诱导公式一，你发现三角函数的取值有怎样的变化规律？它反映了圆的什么特性？ （2）你认为诱导公式一有什么作用？ 新知探究 7 4．应用规律 例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证： （1）cos 250°； （2）sin ； （3）tan(－672°)； （4）tan 3π． 解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0； （3）因为tan(－672°)＝tan(48°－2×360°)＝tan 48°， 而48°是第一象限角，所以tan(－672°)＞0； （4）因为tan3π＝tan(π+2π)=tanπ，而π的终边在x轴上，所以tanπ=0． （2）因为是第四象限角，所以sin ＜0； 新知探究 8 4．应用规律 解：（1）sin1480°10′=sin(40°10′+4×360°)=sin 40°10′≈0.645； 例3 求下列三角函数值： （1）sin 1 480°10′（精确到0.001）； （2）cos ； （3）tan ． （2） ； （3） ． 新知探究 9 归纳小结 问题4 （1）本节课学习了哪些知识点，你能在上节课的基础上继续完善本单元的知识结构图吗？ 归纳总结 （2）本节课在三角函数定义的基础上，研究了三角函数的两条性质，它的研究方法和幂函数、指数函数等函数性质的