5.2.1三角函数的概念课件（一）-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的概念 环节一 三角函数的概念（一） 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 创设情境 问题1 如图，单位圆⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向旋转，建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况．根据已有的研究函数的经验，你认为我们需要研究哪些内容？ 答案：明确研究背景—对应关系的特点分析—下定义—研究性质． 2 1．形成概念 问题2 如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1，0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP． （1）如图，当α=　时，点P的坐标是什么？求解的依据是什么？ （2）求点P的坐标的步骤是什么？点P的坐标唯一确定吗？ 新知探究 3 新知探究 答案：（1）点P的坐标是( ， )，求解的依据是勾股定理； （2）步骤：如图，画出　的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，在Rt△OMP中，利用勾股定理可得点P的坐标是(　　，　)．点P的坐标是唯一确定的． 1．形成概念 4 1．形成概念 追问1 当α= 或 时，能利用上述的方法求解吗？若不能，如何转化？点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？ 新知探究 答案：画出 的终边OP，显然点P的坐标为(0，1)． 画出 的终边OP，过点P作x轴的垂线交x轴于M，∠MOP= ，在Rt△OMP中，利用勾股定理，且点P在第二象限，可得点P的坐标是( ， )．点P的坐标是唯一确定的． 5 1．形成概念 追问2 一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？你能用函数的语言刻画这种对应关系吗？ 答案：对于R中的任意一个角α，它的终边OP与单位圆交点为P(x，y)，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的．所以，点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数． 新知探究 6 1．形成概念 定义 设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)． （1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα； 新知探究 （2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即y=cosα； （3）把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tanα，即 =tanα（x≠0）． 7 1．形成概念 新知探究 追问3 对于R中的任意一个角α， 是唯一确定的吗？为什么？ 是α的函数吗？ 答案：当α= +kπ（k∈Z）时，α的终边在y轴上，这时点P的横坐标等于0，所以 =tanα无意义．除此之外，对于确定的角α，点P(x，y)的横坐标和纵坐标都是唯一确定的，所以 也是唯一确定的．由此可知， =tanα（x≠0）也是以角α为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数． 8 1．形成概念 定义 我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数．通常将它们记为： 正弦函数 y=sinx； 新知探究 余弦函数 y=cosx； 正切函数 y=tanx，x≠ +kπ（k∈Z）． 9 2．理解概念 问题3 请同学们先阅读教科书，再回答如下问题： （2）正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？ （1）符号sinα，cosα和tanα分别表示什么？在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？ （3）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是什么？为什么？ 新知探究 10 （2）正弦函数的对应关系：α →点P的纵坐标y； 余弦函数的对应关系：α →点P的横坐标x； 正切函数的对应关系：α→ ． 答案：（1）分别表示sinα=y，cosα=x，tanα= ；引入过符号logab表示ax=b中的x． 新知探究 （3）正弦函数、余弦函数的定义域是R； 正切函数的定义域是{x∈R|x≠ +kπ，k∈Z }． 2．理解概念 11 答案：作出Rt△ABC，其中∠A=x，∠C=90°，再将它放入直角坐标系中，使点A与原点重合，AC在x轴的非负半轴上，可得出y1=z1的结论．对于余弦、正切也有相同的结论． 问题4 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．设x∈(0， )，把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为y1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为z1，y1与z1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 新知探究 2．理解概念 12 4．应用概念 例1 利用三角函数的定义求 的正弦、余弦和正切值． 追问 依据三角函数定义，