5.1.2弧度制课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

任意角和弧度制 环节二 弧度制 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 创设情境 问题1 我们知道，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明．你认为度量同一种量为什么存在不同的单位制？ 答案：比如，度量重量可以用千克、斤、磅等不同的单位制，度量体积可以用立方米、升等不同的单位制． 不同的单位制能给解决问题带来方便． 2 新知探究 1．引入弧度制的必要性 问题2 目前我们是用角度制度量角，它是六十进制，用它表示角有什么不方便之处呢？ 答案：（教师讲解）第一，为了三角函数定义的需要．我们知道，函数是两个实数集之间的对应关系，实数采用的的进位制是十进制．为了研究周期性变化规律，我们需要建立任意角三角函数．若沿用锐角三角函数定义，角的度量采用六十进制的角度制，则与函数定义的要求不符．因此，我们需要引入新的度量制，它必须是十进制，它的单位应与实数的单位一致，从而使三角函数的自变量和函数值都是实数． 3 新知探究 1．引入弧度制的必要性 第二，如果三角函数的自变量和函数值的度量单位不统一，会给后续的研究带来很多麻烦．比如，在解决实际问题中，有时需要同时应用几类不同类型的函数，有时需要自变量的值和函数值的运算，比如f(x)=xsinx，如果只有角度制，解释xsinx的意义就比较复杂了． 4 新知探究 2．引入弧度制 问题3 度量角除了角度制，在数学和其他学科研究中经常采用另一种度量角的单位制——弧度制，那么它是如何度量角的呢？ 追问1 如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？ 答案： ． 5 新知探究 2．引入弧度制 答案： ；圆心角α所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关，也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．因此可以利用圆的弧长和半径的比值度量圆心角． 追问2 如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧 的长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？ 6 新知探究 追问3 结合上面的探索过程，阅读教科书，请你试着说一说什么是1弧度的角？ 答案：我们规定： 长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． 2．引入弧度制 7 新知探究 追问4 （1）我们把半径为1的圆叫做单位圆．既然角的大小与半径无关，那么在单位圆中如何确定1 rad的角呢？ 2．引入弧度制 答案：单位圆中长度为1的弧所对的圆心角就是1 rad（如图）；在半径为r的圆中 ；类比角度制，α的弧度数正负由角α的终边的旋转方向决定． （2）在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角α的弧度数是多少？ （3）角有正、负、零角之分，它的弧度数呢？ 8 新知探究 2．引入弧度制 追问5 请你说说弧度制与角度制有哪些不同点和相同点？ 答案：第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”； 第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制； 　　第四，无论是弧度制还是角度制，角的大小都是一个与半径大小无关的定值，等等． 第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的 ； 9 新知探究 3．角度制与弧度制的换算 问题4 既然角度制、弧度制都是角的度量制，那么，它们之间应该可以换算，如何换算呢？你认为在换算的过程中最为关键的是什么？ 答案：关键是找到联系两种度量制的桥梁：360°=2π rad，即180°=π rad，然后将其单位化，即 　， 　 ． 10 新知探究 例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值． 3．角度制与弧度制的换算 解：（1）因为67°30′= ，所以67°30′= ． 因此，67°30′≈1.178 rad． 1.178097245． （2）利用计算器有 11 新知探究 3．角度制与弧度制的换算 例2 将3.14rad换算成角度（用度数表示）： （1）精确值； （2）精确到0.001的近似值． 　　解：（1）因为3.14rad= ． （2）利用计算器有 179.9087477． 因