5.2.3简单复合函数的导数课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的运算 环节四 简单复合函数的导数 引入新课 问题 导数的四则运算法则是什么？ 答案： 2 探究新知 问题1 函数可以用基本初等函数表示吗？ 设，则. 所以可以看做和经过“复合”得到. 即：. 答案： 3 探究新知 定义 一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量， 可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作. 4 探究新知 问题2 如何求复合函数的导数？以函数为例，研究其导数. 猜想 的导数与函数， 的导数有关. 以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数. 可以先得到， 的导数. ， . 5 探究新知 可以换个角度来求. . 6 探究新知 追问 观察， ， ，有什么发现？ 答案： 7 探究新知 结论 一般地，对于由函数和复合而成的函数，它的导数与函数和的导数之间的关系为： 复合函数的求导法则 8 探究新知 问题3 可以用复合函数的求导法则求函数的导数了吗？ 函数 可以看作函数和的复合函数， 所以 答案： 9 探究新知 追问 这里得到的可以作为结果吗？ 答案： 10 知识应用 例1 求下列函数的导数： （1）；（2） 解：（1） （2） . 11 知识应用 追问1 你能总结求复合函数 的导数的一般步骤吗？ （1）观察函数结构，识别构成复合函数的基本初等函数； （2）引入中间变量，运用基本初等函数的求导公式与复合函数的求导法则运算； （3）用中间变量关于自变量的函数替换掉中间变量，得到关于自变量的导数. 答案： 12 知识应用 追问2 求复合函数的导数时，要注意什么？ （1）计算过程要发挥中间变量的作用，确保准确识别函数结构，选对求导公式； （2）最后结果写成关于的函数，不再出现中间变量 答案： 13 知识应用 例2 某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：）与时间 （单位：）之间的关系为 求函数在时的导数，并解释它的实际意义. 14 知识应用 问题： 如何求“函数在时的导数” ？ 可以先求函数的导数， 再将代入导数的解析式，求出导数值. 答案： 15 知识应用 追问1 如何求函数的导数？ 答案:需要用到复合函数的求导法则. 16 知识应用 追问2 函数可以看作哪两个函数的复合函数？ 解：函数 可以看作函数的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有 17 知识应用 当时， . 所以，弹簧振子在的瞬时速度为. 18 知识应用 函数还可以看作哪两个函数的复合函数？ 追问3 函数化为，看作和的复合函数， 有 当时， . 所以，弹簧振子在的瞬时速度为. 答案： 19 $