上海市格致中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学试卷

上海市格致中学2021-2022年高三上开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合，，则　　． 2.已知复数满足为虚数单位），则的模为　　． 3.如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比　　． 4.已知函数，则它的反函数　　． 5.二项式的展开式中的常数项等于　　． 6.方程在上的解集为　　． 7.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有　　个． 8.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则实数　　． 9.设的三个内角、、所对的边长依次为、、，若的面积为，且，则　　． 10.已知各项为正数的等比数列满足：，若存在两项、使得，则的最小值为　　． 11.设定义域为的函数、都有反函数，且函数和图象关于直线对称，若，则　　 12.2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新．设计师的灵感来源于曲线（其中是一个非零实常数）．以下几个关于曲线的命题： ①曲线关于原点成中心对称；②曲线只有两条对称轴； ③当时，曲线上的点到原点的距离的最小值为2； ④当时，记曲线所围成图形的封闭图形的面积为，则； ⑤当时，记曲线所围成图形的封闭图形的面积为，则关于单调递增. 其中正确的序号是　　． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13.已知实数，，“，”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14.在中，为直线上的任意一点，为的中点，若，则　　 A． B． C． D． 15.如图，已知四面体的棱平面，且，其余的棱长均为1．四面体以所在的直线为轴旋转弧度，且始终在水平放置的平面上方．如果将四面体在平面内正投影面积看成关于的函数，记为，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 16.已知函数与满足对任意， 都有.有以下四个命题： （1）若有反函数，则有反函数； （2）若是偶函数，函数也是偶函数； （3）若是周期函数，函数也是周期函数； （4）若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值； 其中正确命题的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.如图，线段和是以为顶点的圆锥的底面上的两条互相垂直的半径，点是母线的中点，已知． （1）求该圆锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18.已知，函数的最小正周期为，对于任意 恒成立. （1）求函数的解析式； （2）当，求的零点和单调递增区间. 19.已知函数的图象过点，且函数图象又关于原点对称． （1）求函数的解析式 （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 20.已知椭圆经过点且焦距为4，点，分别为椭圆的左右顶点，点在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率分别为，求的值； （3）是椭圆上的两点，且不在坐标轴上，满足，，问 △的面积是否是定值？如果是，请求出△的面积；如果不是，请你说明理由. 21.若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“数列”． （1）若是“数列”且，写出的所有可能值； （2）设是“数列”，证明：是等差数列的充分必要条件是单调递减； （3）若是“数列”且是周期数列（即存在正整数，使得对任意正整数，都有，求集合的元素个数的所有可能取值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市格致中学2021-2022年高三上开学考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.已知集合，，则　　． 【解析】因为集合，或， 所以． 2.已知复数满足为虚数单位），则的模为　　． 【解析】由，得， ． 【注】也可用复数模的性质求解. 3.如果无穷等比数列所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比　　． 【解析】所有项和，奇数项的和，所以， 解得. 4.已知函数，则它的反函数　　． 【解析】因为，所以，， 所以，所以反函数，. 5.二项式的展开式中的常数项等于　　． 【解析】二项式展开式中的通项公式， 令，解得．所以常数项． 6.方程在上的解集为　　． 【解析】，因为，所以， 所以或，所以在上的解集为. 7.正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有　　个． 【解析】正六边形的中心和顶点共7个点，选3个点的共有的方法是， 在一条直线上的三点有3个，符合题意的三角形有个. 8.已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则实数　　． 【解析】双曲线的渐近线方程是， 由双曲线的两条渐近线的夹角为， 得或，所以或． 9.设的三个内角、、所对的边长依次为、、，若的面积为，且，则　　． 【解析】的面积为，且， 由余弦定理得，所以， 所以． 10.已知各项为正数