5.5三角恒等变换（二）课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角恒等变换 环节四 三角恒等变换（二） 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 复习引入 问题1 前面学习了哪些三角函数公式，你能默写出来吗？你能用结构图表示它们的关系吗？ 答案：同角三角函数关系式（2个）；诱导公式（6组16个）；和（差）角公式（6个）；倍角公式（5个）． 默写（略）． 同角三角函数关系 和（差）角公式 诱导公式 倍角公式 特殊化 2 复习引入 问题2 对于三角恒等变换，你积累了哪些经验？ 答案：在进行三角恒等变换时，应该分析已知条件与目标之间的差异，这些差异包括角的差异、三角函数名的差异、式子结构差异等等．找到“差异”之后，根据“差异”选择合适的公式，逐步消除这些“差异”，最终达到目标． 变换中，在消除角的差异时，最好逐步消除角的差异．在消除函数名差异的时候，一般先进行“切化弦”．在使用余弦的倍角公式时，根据不同的式子结构或者需求选择不同的公式形式． 3 1．典例精析 环节二、技能初建 例1 试以cosα表示sin2 ，cos2 ，tan2 ． 追问 已知角α与所求角 有什么关系？根据角的关系以及三角函数名，应该选择哪个公式？ 答案： 二倍角关系，α=2× ；根据角的关系，应该选择倍角公式．再根据三角函数名可知，求sin2 应选择cos2α＝1－2sin2α，求cos2 应选择cos2α＝2cos2α－1，求tan2 应选择同角关系式． 4 1．典例精析 环节二、技能初建 解：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中，以α代替2α，以 代替α，得 cosα＝1－2sin2 ，所以sin2 = ． ① 在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中，以α代替2α，以 代替α，得 cosα＝2cos2 －1，所以cos2 = ． ② 将①②两个等式的左右两边分别相除，得tan2 = ． 5 1．典例精析 环节二、技能初建 教师讲解：例1的结果还可以表示为： sin = ，cos = ，tan = ， 并称之为“半角公式”（这组公式不需要记忆），符号由 所在象限决定． 另外，公式sin2 = 和cos2 = ，从左边到右边，它们的次数从二次降为一次，而角则由扩大为α，因此也被称为“降幂（扩角）公式”． 6 1．典例精析 环节二、技能初建 追问1 在（1）中，根据题中的已知角与所求角，你能制定出哪些不同的求解方案？ 例2 （1） 已知锐角α满足 ，求sinα的值． （2） 在△ABC中，cosA= ，tanB=2，求tan2C的值． 答案： 方案一，用正弦的差角把 展开，结合同角三角关系解出sinα的值； 方案二，利用关系α= ，将 视为一个整体，借助同角关系解出 ，从而求出sinα的值． 7 所以， ，即 ． 又因为sin2α+cos2α=1， 则sin2α+ =1，解得sinα= ． 因为α为锐角，所以sinα>0，所以sinα= ． 环节二、技能初建 1．典例精析 解法1：因为 ， （1） 8 环节二、技能初建 1．典例精析 解法2：由0<α< ，得－ < < ． 又因为 ， 所以 = ． sinα=sin =sin cos －cos sin = = ． 9 1．典例精析 环节二、技能初建 追问2 在（2）中，2C与A，B之间有怎样的关系？你能据此制定出几种不同的求解方案？A