5.5三角恒等变换（三）课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角恒等变换 环节五 三角恒等变换（三） 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 复习引入 问题1 对于三角恒等变换，你积累了哪些经验？ 答案：在进行三角恒等变换时，应该分析已知条件与目标之间的差异，这些差异包括角的差异、三角函数名的差异、式子结构差异等等．找到“差异”之后，根据“差异”选择合适的公式，逐步消除这些“差异”，最终达到目标． 2 1．典例精析 技能初建 追问1 什么样的三角函数式便于求周期，最大值和最小值等性质？ 答案： 便于求周期和最大值、最小值等性质的三角函数式：形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)的一个角的一个三角函数名的形式． 例1 求下列函数的周期，最大值和最小值： （1） y＝sinx+　cosx；（2）y＝3sinx＋4cosx． 3 1．典例精析 技能初建 追问2 三角函数式y=Asin(ωx+φ)、y=Acos(ωx+φ)，利用和差角公式展开，都可化为哪种形式？ 答案： 均可化为asinωx+bcosωx的形式． 4 1．典例精析 技能初建 答案： 不能；利用同角三角函数关系sin2x+cos2x=1，可知满足m2+n2=1的实数m，n才可以分别看作同一个角的正弦和余弦． 追问3 依据等式的性质，也可以逆用和差角公式将asinωx+bcosωx化为Asin(ωx+φ)或者Acos(ωx+φ)的形式．对于y＝sinx+ cosx，其中sinx与cosx的系数1与 能否看成同一个角的正弦和余弦？满足什么条件的两个实数才可以分别看作同一个角的正弦和余弦？ 5 1．典例精析 技能初建 因此，所求周期为π，最大值为2，最小值为－2． 解：（1）（解法1）： y＝sinx+ cosx＝ ＝ ． （解法2）： y＝sinx+ cosx＝ ＝ ． 因此，所求周期为π，最大值为2，最小值为－2． 6 （2）解法1：设3sin x＋4cos x＝Asin (x＋φ)，则 3sin x＋4cos x=Asinxcosφ+Acosxsinφ， 于是Acosφ=3，Asinφ=4. 于是A2cos2φ+A2sin2φ=25，所以A2=25． 技能初建 1．典例精析 取A=5，则cosφ＝ ，sinφ＝ ． 由y=5sin (x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5． 7 技能初建 1．典例精析 则y=5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin (x＋φ)． 故所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5． 解法2：3sin x＋4cos x＝ ， 令 ，解得A2=25，不妨取A=5， 则3sin x＋4cos x＝5 ， 令cosφ＝ ，sinφ＝ ， 8 2．方法提炼 问题2 由特殊到一般，你能将y＝asinωx+bcosωx转化为y=Asin(ωx+φ)或者y=Acos(ωx+φ)的形式吗？ 技能初建 教师讲解：因为这个变换过程引进了辅助角φ，因此公式被称为辅助角公式． 答案： 类比例1（2）的方法，可得y＝asinωx+bcosωx= sin(ωx+φ)，其中sinφ= ，cosφ= ；或者y＝asinωx+bcosωx= cos(ωx－φ)，其中sinφ= ，cosφ= ． 9 3．典例精析 技能初建 追问1 要求最大面积，首先需要根据已知条件表示矩形的面积，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？你是如何得到的？ 例2 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 答案：在直角△OBC中，得宽BC=sinα． 由图得AB=OB－OA，而在直角△OBC 中，得OB=cosα，在直角△OAD中，OA= AD= BC= sinα，所以AB=cosα－ sinα． 因此，可得S=(cosα－ sinα)sinα=cosαsinα－ sin2α． 10 技能初建 3．典例精析 答案：先利用降幂公