5.5三角恒等变换（一）课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角恒等变换 环节一 三角恒等变换（一） 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 复习引入 问题1 前面学习了哪些三角函数公式，你能默写出来吗？你能用结构图表示它们的关系吗？ 答案：同角三角函数关系式（2个）；诱导公式（6组16个）；和（差）角公式（6个）；倍角公式（5个）． 同角三角函数关系 和（差）角公式 诱导公式 倍角公式 特殊化 默写（略）． 2 问题2 在解决具体问题中，根据以前的经验，我们选择公式的依据有哪些？ 答案：（1）依据角的关系；（2）依据式子结构． 环节一、复习引入 3 1．典例精析 环节二、技能初建 求证： （1）sinαcosβ＝ ［ sin(α＋β)＋sin(α－β)］； （2）sinθ＋sinφ＝2sin cos ． 追问1：（1）中式子的左右两边的角有什么关系？在结构形式上有什么不同？你能根据发现的角的关系和结构上的差异选择适当的公式设计变换过程吗？ 4 第二，结构形式上的差异：等号左侧是sinα与cosβ的乘积，而右侧是加的形式．如果设计从左向右的变换过程，需要将积转化为和的形式，回顾所学公式，在公式S(α+β)，S(α－β)中遇到过sinαcosβ这一结构，但上述两个公式中同时都包含了cosαsinβ这个结构，因此需要两个式子用加减消元法消去cosαsinβ即可证明待证结论． 这两种思考方法是本质上是一致的． 1．典例精析 环节二、技能初建 答案：第一，角的关系：等式左侧包含角α及β，而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发，借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的形式； 5 1．典例精析 证明：（1）因为sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ， 即sinαcosβ＝ ［sin(α＋β)＋sin(α－β)］． 环节二、技能初建 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ， 6 追问2 注意观察（2）式的左右两侧，它与（1）的结构特征有什么区别？又有什么联系？ 从等式的结构考虑：（1）左侧是乘积的形式，右侧是和的形式，（2）左侧是和的形式，右侧是乘积的形式．可见，（2）是（1）在式子结构上和角的关系上都是一致的，区别只是两个式子中的角不一样，（1）中的两个角是α，β，（2）中的两个角是 ． 综合以上分析，只需将（1）式等号两侧交换，再将α，β分别替换成 即可得到（2）． 1．典例精析 环节二、技能初建 答案：从等式中角的关系考虑：等式（1）右侧的角是左侧角的和角与差角，而（2）左侧的角也是右侧角的和角与差角； 7 1．典例精析 （2）证明：由（1）可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ． ③ 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝ ，β＝ ． 把α，β的值代入③，即得sinθ＋sinφ＝2sin cos ． 环节二、技能初建 8 追问3 如果不用（1）的结论，（2）如何证明？你能先说说你的证明思路吗？ 答案： 根据（2）式中角的关系，思路1：θ= + ，φ= － ，用正弦的和差角公式即可证明． 1．典例精析 环节二、技能初建 思路2： = + ， = ，θ、φ分别是 、 的2倍，所以从等式右边先用和差角公式，再用二倍角公式，即可证明． 9 ． 证明1：sinθ＋sinφ＝ 环节二、技能初建 1．典例精析 10 1．典例精析 环节二、技能初建 证明2： 11 问题3 结合例1的解答过程，你能谈一谈三角恒等变换与代数恒等变换二者之间有何区别吗？ 2．方法提炼 答案：与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅有结构形式的差异，而且存在角的差异，以及三角函数名的差异．进行三角恒等变换时，常常先依据角之间的关系选择适当的公式，消除式子中角的差异，然后消除函数名的差异，最后消除结构形式的差异． 环节二、技能初建 12 3．典例精析 环节二、技能初建 （2）3＋cos4α－4cos2α＝8sin4α； （3） + (sin2α－c