2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合运用

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合运用 一、综合题 1．已知：锐角三角形ABC内接于⊙O（），于点D，于点E，AD、AE交于点F. （1）如图1，若⊙O直径为17，，求BF的长； （2）如图2，连接OA，若，，求∠OAD的大小. 2．如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝． （1）求OD的长； （2）计算阴影部分的面积． 3．如图，Rt△ABC中， ，AB是 的直径，BC与 交于点D，连接AD，点F是圆上任意一点，连接AF，延长线交BC于点E， . （1）求证： ； （2）若 ， ，求EF的长. 4．如图，四边形ABCD中，ADBC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G. （1）求证：BC为⊙A的切线； （2）求cos∠EDF的值； （3）求线段BG的长. 5．如图，以的边AB为直径作，与BC交于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，. （1）求证：AC是的切线； （2）若，，求BC的长. 6．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥AB交⊙O于C，OC＝2，∠ABC＝30°. （1）求AB的长； （2）若C是OP的中点，求证：PB是⊙O的切线. 7．如图，在中，，以AB为直径的交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，BD． （1）求证：DE是的切线； （2）若，，求BD的长． 8．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE． （1）求证：∠CAD＝∠CAB； （2）若EC＝4，sin∠CAD，求⊙O的半径． 9．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC． （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长． 10．如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作，垂足为点D．连结OC，过点B作，交圆O于点E，连结AE，CE，，． （1）求的值． （2）求CE的长． 11．如图，在中，，以BC为直径作，交AC于点F，作交AB延长线于点D，E为CD上一点，且. （1）证明：BE为的切线； （2）若，，求AC与DE的长. 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF. （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AC=DE，求tan∠ABD的值. 13．如图，在中，，D是上的一点，以为直径的与相切于点E，连接，. （1）求证：平分； （2）若，，求的面积； （3）在（2）的条件下，求的长. 14．如图，为半圆O的直径，C为半圆O上一点，点D在上、，连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E. （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长. 15．如图所示，在中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F. （1）求证：EF是⊙O的切线. （2）若EB＝6，且sin∠CFD＝，求⊙O的半径与线段AE的长. 16．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝6，AC＝4，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D． （1）求BD的长； （2）连接AD，求∠DAC的余弦值． 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，作DE∥BC，交BO的延长线于点E，且BE平分∠ABD． （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）若AD＝8，tan∠BDE＝，求AC的长与▱BCDE的周长． 18．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°. （1）求证：CD是⊙O的切线， （2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积. 19．如图，是的直径，点C在上，是的切线，平分交于点D，交于点F. （1）求证：. （2）若，求的长. 20．如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为点E， （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若⊙O的直径AB＝5，tanC＝，求DE得长度． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：如图，过C作的直径CG，连接AG，BG， 则∠GAC=90°，∠GBC=90°， 在Rt△AGC中， ∵，， ∴GA∥BE，GB∥AD， ∴四边形AGBF是平行四边形 ∴BF=AG=8 （2）解：如图，过C作的直径CG，连接AG，BG，AD与CG交于点H， 由（1）得，四边形AGBF是平行四边形 ∴BF=AG，BG=AF ∵， ∴AC=AG 又∵OG=OC，