2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 1.如图,抛物线与轴的一个交点为,与轴的交点为,对称轴与轴交于点. (1)求抛物线的解析式; (2)点为轴正半轴上的一个动点,连接,过点作的垂线,与抛物线的对称轴交于点,连接. ①若与相似,求点的坐标; ②若点在轴正半轴上运动到某一位置时,有一边与线段相等,并且此时有一边与线段具有对称性,我们把这样的点称为“对称点”,请直接写出“对称点”的坐标. 2.已知抛物线经过点,,与x轴交于另一点C,连接. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且,求直线的表达式; (3)在抛物线上是否存在点D,直线交x轴于点E,使与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 3.如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点,交x轴正半轴于点C,连接,点E是线段上一动点(不与点O,C重合),以为边在x轴上方作正方形,连接,将线段绕点F逆时针旋转,得到线段,过点P作轴,交抛物线于点H,设点. (1)求抛物线的解析式. (2)当时,求a的值. (3)当时,求点P的坐标. 4.已知抛物线经过、、三点,直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的解析式; (2)设点P是直线上的一个动点,当的周长最小时,求点P的坐标; (3)在直线l上是否存在点M,使以、、为顶点的三角形为直角三形.若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与两坐标轴分别相交于三点. (1)求证:; (2)点是第一象限内抛物线上的动点,过点作轴的垂线交于点,交轴于点. ①求的最大值; ②点是的中点,若以点为顶点的三角形与相似,求点的坐标. 6.如图,抛物线与x轴交于、两点,与y轴交于点C,设抛物线的顶点为D. (1)求该抛物线的表达式与顶点D的坐标; (2)试判断的形状,并说明理由; (3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 7.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,﹣3),顶点坐标为(1,﹣4). (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,抛物线在第四象限的图象上有一点M,求四边形ABMC面积的最大值及此时点M的坐标; (3)如图2,直线CD交x轴于点E,若点P是线段EC上的一个动点,是否存在以点、、为顶点的三角形与相似.若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(﹣2,0)和点B(8,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E. (1)求抛物线的表达式; (2)点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,当S△PBC=S△ABC时,求点P的坐标; (3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△OBC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由. 9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与轴交于点A(-2,0),点B(4,0),与y轴交于点C(0,8),连接BC,又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线,沿x轴正方向从O运动到B(不含O点和B点),且分别交抛物线,线段BC以及x轴于点P、D、E. (1)求抛物线的表达式; (2)连接AC,AP,当直线运动时,求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标; (3)作PF⊥BC,垂足为F,当直线运动时,求Rt△PFD面积的最大值. 10.如图,在平面直角坐标系中,直线与坐标轴轴交于点与轴交于点过两点的抛物线,点为线段上一动点,过点作垂直轴于点交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式; (2)当时,求四边形的面积; (3)是否存在点,使得和相似?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由. 11.如图,抛物线与直线交于两点,交轴与两点,连接已知. (1)求抛物线的解析式; (2)求证:是直角三角形; (3)为轴右侧抛物线上一动点,连接,过点作交轴于点,问:是否存在点使得以为顶点的三角形与相似?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由. 12.如图1,已知抛物线与抛物线的形状相同,开口方向相反,且相交于点和点.抛物线与轴正半轴交于点为抛物线上两点间一动点,过点作直线轴,与交于点. (1)求抛物线与抛物线的解析式; (2)四边形的面积为,求的最大值,并写出此时点的坐标; (3)如图2,的对称轴为直线,与交于点,在(2)的条件下,直线上是否存在一点,使得以为顶点的三角形与相似?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由. 13.如图,在平面直角坐标