第10讲：解三角形 讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

( 考点精讲 )第十讲：解三角形 1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝ 2.递推公式 S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r. 3．三角形的高的公式 hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA． 4．边角情况 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 5.常见结论： （1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等． （2）三角形中的三角函数关系： ； ； ； . ( 经典例题 ) 题型一 利用正、余弦定理直接求解 【例1】在中，，，，则 ． 【例2】（1）设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（ ） A． B．2 C． D．3 （2）在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 题型二 与面积有关的三角形 【例3】(1)在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 . (2)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(　　) A．1 B. C. D．2 【例4】的内角所对的边分别为，其中向量与向量平行. （1） 求； （2）若求的面积. 【例5】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝，cos2A－cos2B＝sin Acos A－sin Bcos B. (1)求角C的大小； (2)若sin A＝，求△ABC的面积． 【例6】（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为(　　) A．2＋2 B.＋1 C．2－2 D.－1 （2）在△ABC中，已知·＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为________． 题型三 需要进行边角转换的三角形问题 【例7】在中，，，，则 ． 【例8】已知分别为内角的对边， （1）若求； （2）设且，求的面积. 【例9】设的内角的对边分别为，，且为钝角. （1） 证明：； （2）求的取值范围. 【例10】在的内角的对边分别为已知A=，=. （1）求tanC的值； （2）若的面积为3，求的值. 题型四 平面几何图形中的三角形问题 【例11】在中，,点D在边上，，求的长. 【例12】中，是上的点，AD平分，. （1）求 ； （2）若,求. （3） 若=1，=，求和的长. 【例13】如图，在中，为边上一点，且，已知，. （1）若是锐角三角形，，求角的大小； （2）若的面积为，求的长. 【例13】如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB+b=2c. （1）求角A的大小； （2）若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长． ( 课后巩固 ) 1、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=( ) A.1 B．2 C．—1 D． 2、在△中，若，则△是（ ） A．直角三角形. B．等边三角形. C．钝角三角形. D．等腰直角三角形. 3、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则（ ） A． B． C． D． 4、在中，已知，那么一定是（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形