第5讲：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五讲：两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ( 考点精讲 ) 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β　(C(α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β　(S(α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β　(S(α＋β)) tan(α－β)＝　(T(α－β)) tan(α＋β)＝　(T(α＋β)) 2．二倍角公式 sin 2α＝2sin_αcos_α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； tan 2α＝. 3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T(α±β)可变形为 tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)， tan αtan β＝1－＝－1. 4、常用结论 (1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). 5．常见的配角技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等． ( 经典例题 ) 题型一　三角函数公式的直接应用 【例1】（1）求值：； （2）化简（ ） A． B． C． D． （3）化简的结果是（ ） A． B． C． D． （4）tan255°=( ) A．−2− B．−2+ C．2− D．2+ 题型二　三角函数公式的求值问题 【例2】(1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为(　　) A. B. C. D. (2)化简：＝________. (3)求值：＝________. (4)计算：tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝________. 【例3】已知cos＋sin α＝，则sin＝________. 题型三　三角函数公式角的变换 【例4】若0<α<，－<β<0，cos(＋α)＝，cos(－)＝，则cos(α＋)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 【变式一】已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值． 【例5】（1）设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　) A. B. C.或 D.或 （2）已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β=（ ） A． B． C． D．或 【例6】（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值. 题型四　三角函数公式名的变换 【例7】(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.则sin(α－β)＝________，cos β＝________. （2）若α∈(，π)，tan(α＋)＝，则sin α等于(　　) A. B. C．－ D．－ (3)已知sin 2α＝，则cos2等于(　　) A. B. C. D. 【例8】(1)已知，且，求的值. (2)已知sin α+sin β=1,cos α+cos β=,若α-β∈(0,π),求α-β的值. 【例9】已知，，为的三个内角，且，，，求的值． 【例10】已知，则=（ ） A． B． C． D． ( 课后巩固 ) 1、若，则 （ ） A． B． C． D． 2、已知，，则 （ ） A. B. C. D. 3、设向量，若,则 （ ） A． B．