第1讲：任意角和弧度制及任意三角函数 讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一讲：任意角和弧度制及任意三角函数 ( 考点精讲 ) 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．　　 终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 有关角度与弧度的两个注意点 (1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 三角函数的初步性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α R ＋ ＋ － － cos α R ＋ － － ＋ tan α {α|α≠kπ＋，k∈Z} ＋ － ＋ － (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线． 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 图形 4.特殊角的三角函数值： 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 5. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sinx cosx tanx cotx secx cscx 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)象限角 (4)轴线角 ( 经典例题 ) 题型一 象限角及终边相同的角 【例1】第一象限角的集合为 第二象限角的集合为 第三象限角的集合为 第四象限角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在轴上的角的集合为 终边在坐标轴上的角的集合为 【例2】判断若α与240º角的终边相同，则是第几象限角. 【例3】(1)若是第三象限角，则-，，2分别是第几象限角. (2)若是第三象限角，则分别是第几象限角. 【变式1】将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）. 【变式2】（1）用弧度制表示终边在y轴上的角的集合 . （2）用弧度制表示终边在第四象限的角的集合 . 题型二 扇形的弧长和面积 【例4】①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积. ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积. 【例5】一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 【变式1】已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________． 【变式2】若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________ ． 题型三 三角函数的定义 【例6】（1）已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－，则＋＝________. （2）已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋＝(　　) A．－　　 　B. C.