2023年中考数学专题训练——全等三角形

2023年中考数学专题训练——全等三角形 1．在正方形中，，、分别是、边上的动点，以、为边作平行四边形． (1)如图1，连接，若，试说明与的关系； (2)如图2，若为的中点，在边上是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 2．已知，在中，，，点为直线上一动点点不与点，重合.以为边作正方形，连接． (1)如图，当点在线段上时．求证； (2)如图，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出，，三条线段之间的关系； (3)如图，当点在线段的反向延长线上时，且点，分别在直线的两侧，其他条件不变，如果，，求的长． 3．【推理】 如图1，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点，与交于点． (1)求证：． 【运用】 (2)如图2，在【推理】条件下，延长交于点．若，求线段DH的长． 【拓展】 (3)如图3，在【推理】条件下，连结．则线段的最小值为 ． 4．如图①，在矩形中，，为的中点，，分别在、上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)如图②，为的中点，连接，，求证：． 5．已知和都为等腰三角形，，，． (1)如图，当时，线段与的数量关系是______； (2)如图，当时， ①请判断线段与的数量关系，并说明理由； ②当，时，请直接写出的长． 6．如图1，在等腰直角三角形中，，．点是的中点，以为边作正方形，连接，．将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（）． (1)如图2，在旋转过程中， ①判断与是否全等，并说明理由； ②当时，与交于点，求的长． (2) 如图3，延长交直线于点．求证：； 7．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． (1)是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图①，求的长； (2)是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长； (3)是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长． 8．在四边形ABCD中，，，点E为BC上一点（不与点B，点C重合），连接AE，将沿AE翻折得到，延长交CD于点F． (1)如图①，当时，四边形ABCD的形状为______； (2)在（1）的条件下，随着点E位置的变化，的周长是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出它的值； (3)如图②，当时，请直接写出的周长． 9．在正方形中，点E在射线上（不与点B、C重合），连接，，将绕点E逆时针旋转得到，连接． (1)如图1，点E在边上． ①依题意补全图1； ②若，，求的长； (2)如图2，点E在边的延长线上，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 10．在中，在上，且． (1)如图，若，，求的长度． (2)如图，作于，过点作交于点，作于，探究与的关系，并证明你的结论． (3)如图，作于，，，探究与的数量关系，并证明． 11．【教材呈现】 在华师版八年级下册数学教材第111页学习了以下内容：菱形的对角线互相垂直． 【结论运用】 (1)如图①，菱形的对角线与相交于点，，，则菱形的面积是 　　； (2)如图②，四边形是平行四边形，点在上，四边形是菱形，连接、、，求证：； (3)如图③，四边形是菱形，点在上，四边形是菱形，连接，若，则　　度． 12．（1）如图1，，E是的中点，平分，求证：平分． （2）如图2，，和的平分线并于点E，过点E作，分别交于B、D，请猜想三者之间的数量关系，请直接写出结论，不要求证明． （3）如图3，，和的平分线交于点E，过点E作不垂直于的线段，分别交于B、D点，且B、D两点都在的同侧，（2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 13．过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形．若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”． (1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是______（只填写序号）． ①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为的等腰三角形． (2)如图，在中，，，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数； (3)如图，中，，为边上的高，，为的中点，过点作直线交于点，作，，垂足为，若射线为的“友好分割线”，求的最大值． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知两点，，点在第一象限，，，点在线段上，，的延长线与的延长线交于点，与交于点． (1)点的坐标为：______（用含，的式子表示）； (2)求证：； (3)设点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，求证：，关于轴对称． 15．如图，平面直角坐标系中，在轴正半轴截取线段，在轴负