专题26 分式（方程）中的规律性问题探究-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（苏科版）

专题26 分式（方程）中的规律性问题探究 【例题讲解】 观察下列方程及解的特征： （1）x+=2的解为x1=x2=1；（2）x+=的解为x1=2，x2=； （3）x+=的解为x1=3，x2=；  … 解答下列问题： （1）请猜想：方程x+=的解为______； （2）请猜想：关于x的方程x+=______ 的解为x1=a，x2=（a≠0）； （3）下面以解方程x+=为例，验证（1）中猜想结论的正确性． （4）解方式方程 【详解】解：（1）方程整理得：x+=5+，其解为x1=5，x2=； （2）猜想得：x+=a+的解为x1=a，x2=（a≠0）； （3）去分母得：5x2-26x+5=0，即（5x-1）（x-5）=0，解得：x1=5，x2=， 经检验x1=5，x2=都是分式方程的解； （4）原方程整理得：， ，，． 【综合解答】 1．根据，，，，…所蕴含的规律可得等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的运算，求得，，的值，找到规律，利用规律求解即可． 【详解】解：，， ， ∴ 可知此组数三个一循环， ∴ 故选：C 【点睛】此题考查了数字的变化规律，涉及了分式的有关计算，解题的关键是根据已知计算公式找到这组数据的规律． 2．若（不取0和），，，…，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过题目给的x2与x1 ，x3与x2， x4与x3，……等关系分别用含有a的代数式表示x2，x3， x4，……从而找到规律，进而得到结果． 【详解】解：， ， ， 由此可知，， 2020÷3=673……1． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的化简，通过分式的化简找到周期规律是解决本题的关键． 3．观察给定的分式：……，猜想并探索规律，那么第n个分式是 _____． 【答案】 【分析】先看分子，后面一项是前面一项的2倍（第一项是1，第二项是-2，…第n项是2n-1）；再看分母，后面一项是前面一项的x倍（第一项是x，第二项是x2，…第n项是xn）；据此可以找寻第n个分式的通式． 【详解】解：先观察分子： 1、21、22、23、…2n-1； 再观察分母： x1、x2、x3…xn； 所以，第n个分式； 故答案是：． 【点睛】本题考查了分式的定义．解答此题的关键是找出分子分母的变化规律．找其中的规律采用了归纳法． 4．计算：＝__________（n为正整数）． 【答案】 【详解】试题分析：由题意知，，…， 所以原式= =2×（1-+-+-+…+） =2×（1-） = 考点：规律探索 5．给定一列分式：，，，，，其中，根据你发现的规律，试写出第个分式______． 【答案】 【分析】用后面项除以前面项求出结果，归纳总结得到第个分式即可． 【详解】解：给定一列分式：，，，，，其中用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是； 根据你发现的规律，试写出第个分式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 6．给定一列分式：，…（其中x≠0），根据你发现的规律，试写出第6个分式_____． 【答案】 【分析】根据“分式分子及分母对应的底数及其指数的数字规律”即可得出第6个分式． 【详解】解：观察一列分式：，……，可以得出 第一个分式为： 第二个分式为： 第三个分式为： … 第n个分式为： ∴第6个分式为 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的定义．注意观察每一个分式的分子、分母的变化，然后找出的规律． 7．观察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n个方程是_____． 【答案】x+ ＝n+（n+1） 【分析】方程中的分式的分子变化规律为：n（n+1），方程的右边的变化规律为n+（n+1）． 【详解】∵第1个方程为x+＝1+2， 第2个方程为x+＝2+3， 第3个方程为x+＝3+4， … ∴第n个方程为x+＝n+（n+1）． 故答案是：x+＝n+（n+1）． 【点睛】本题考查了分式的定义.该题属于寻找规律的题目，对于此类题型，应观察哪部分没有发生变化，哪部分发生了变化，变化的规律是什么. 8．一组按规律排列的式子：，﹣，，﹣，…（a≠0），其中第10个式子是_____． 【答案】 【分析】根据题意可得式子的第奇数个数为正，第偶数个数为负，分子为序号的平方，分母中a的指数为：序号三倍减1.据此规律可得结果． 【详解】∵, ， =（﹣1）3+1·， … 第n个式子应为： ∴第10个式子是（﹣1）10+1•=， 故答案是：． 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．本题的关键是准确找到分子的规律． 9．一组按规律排列的式子：，，，