精品解析：重庆市南开中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题

重庆南开中学高2024级高二（上）期末考试 数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第I卷和第II卷都答在答题卷上． 第I卷（选择题共60分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知是函数导函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，若，则（ ） A. 30 B. 40 C. 45 D. 60 3. 已知抛物线，若抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离为3，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：若以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；．．．．．依次损益交替变化，获得了“宫､徵､商､羽､角”五个音阶．据此可推得（ ） A. “徵､商､羽”的频率成等比数列 B. “宫､徵､商”的频率成等比数列 C. “商､羽､角”的频率成等比数列 D. “宫､商､角”的频率成等比数列 5. 设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直的直线的交点轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若圆上存在点，使得过点可作两条互相垂直的直线与椭圆相切，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7 若数列满足，且对于都有，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导函数，，且对于任意的有．则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. 已知数列中，，则能使的可以为（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 2024 10. 如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（ ） A. 在上增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极大值 11. 设等差数列的前项和为，公差为，若，则下列结论正确的有（ ） A. 数列是单调递增数列 B. 当取得最小值时，或6 C. D. 数列中的最小项为 12. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新logo（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当时，下列关于曲线的判断正确的有（ ） A. 曲线关于轴和轴对称 B. 曲线所围成的封闭图形的面积小于8 C. 设，直线交曲线于两点，则的周长小于8 D. 曲线上的点到原点的距离的最大值为 第II卷（非选择题共90分） 三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相对应位置上） 13. 如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ． 14. 记数列的前项和为且，则__________． 15. 设双曲线的右焦点为，中心为，斜率为2的直线过且与的两条渐近线分别交于两点，且，则双曲线的离心率为__________． 16. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为．若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”．已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为__________． 四．解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 17. 已知正项等比数列前项和，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）记，其前项和为，求数列的前项和． 18. 设函数． （1）若是函数的极值点，求在上的最大值； （2）若曲线在处的切线与曲线也相切，求实数的值． 19. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，分别为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值． 20. 已知数列满足． 数列满足，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数取值范围． 21. 已知函数，其中是自然对数的底数． （1）讨论函数单调性； （2）若在区间上有解，求实数的取值范围． 22. 已知椭圆的左右焦点为，且，直线过且与椭圆相交于两点，当是线段的中点时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）当线段的中点不在轴上时，设线段的中垂线与轴交于点，与轴交于点为椭圆的中心，记的面积为的面积为，当取得最大值时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2024级高二（上）期