5.4.2二项式系数的性质（第一课时）课件——2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

4.2二项式系数的性质 第一课时 §4 二项式定理 高二数学备课组 赣州市第十五中学 1 1.借助“杨辉三角”，理解二项式系数性质的应用. 2.掌握应用“赋值法”求二项展开式的各项系数和. 核心素养：数学抽象、数学运算、逻辑推理 学习目标 赣州市第十五中学 二项式系数的性质 系数和当依次取1，2，3，…时，展开式的二项式系数如图. 图中的表叫作二项式系数表，历史上也称为杨辉三角. 观察左图，你能发现什么？ 赣州市第十五中学 杨辉三角性质的补充: (1)每一行都是对称的, =1,=1. (2)对于给定的来说,其二项式系数满足中间大、两边小的特点.利用二项式系数的对称性可知,二项式系数,…,,是先逐渐变大,再逐渐变小的,当是偶数时,中间一项的二项式系数最大,当是奇数时,中间两项的二项式系数相等且最大. 表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和. 事实上，设表中任意一个不为“1”的数为，那么它“肩上”的两个数分别为和，由组合数的性质2得到：＝+. 赣州市第十五中学 【思考】杨辉三角的作用是什么？ 提示：①直观地看出或探究二项式系数的性质；②当二项式系数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数． 赣州市第十五中学 【思考】(1)杨辉三角中的数是二项式系数还是项的系数？ 提示：杨辉三角中的数是二项式系数． (2)怎样求二项式系数和？ 提示：利用赋值法，在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，可得 ＋… ＋ ＝2n. 赣州市第十五中学 二项式系数的性质 (1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与___________________的两个二项式 系数相等，即 . (2)增减性与最大值：当k< 时，二项式系数是逐渐_____的，由对称性 可知它的后半部分是逐渐_____的，且在中间取到最大值．当n是偶数时，中 间一项的二项式系数 取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数 __________相等，且同时取到最大值． 首末两端“等距离” 增大 减小 赣州市第十五中学 各二项式系数的和 (1) ＝__． (2) …＝ ＋…＝____． 2n 2n－1 修水县第一中学 【基础小测】 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”) (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(　　) (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (3)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) (4)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　) 赣州市第十五中学 提示：(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项中其他数字因数的大小有关． (2)×.在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和． (3)×.二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关． (4)√.根据杨辉三角的特点可知． 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 赣州市第十五中学 课堂小结 1.知识清单： (1)二项式定理. (2)二项式通项应用、二项式系数应用. 2.常见误区： 混淆二项式系数与项的系数致误. ＝++…+-+…+. （＝0，1，2，…，） +1＝- 赣州市第十五中学 2．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________． 【解析】令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 3．(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝________． 【解析】由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝C eq \o\al(\s\up1(8),\s\do1(10)) ·22＝180. 答案：180 类型一　二项展开式通项的应用 二项式系数与项的系数 【典例】1.已知二项式(2x＋1)5，则展开式中含x2项的系数为________. 2．已知二项式(3 eq \r(x) － eq \f(2,3x) )10. (1)求展开式第4项的二项式系数． (2)求展开式