不等式选讲 强化训练-2023届高三数学二轮专题复习

冲刺2023年高考二轮 不等式选讲强化训练 （原卷+答案） 考点一　不等式的证明——看“目标”，找“条件”，想“联系”，用“转化” 算术—几何平均不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则≥ ，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理3：如果a，b，c为正数，则≥ ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥ ，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立． 例 1 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1，证明： (1)abc≤； (2)＋＋≤. 对点训练 已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； (2)若b＝2c，则＋≥3. 考点二　含绝对值不等式的解法——掀起“绝对值”的盖头 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R. 2．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法 (1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间； (3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集； (4)这些解集的并集就是原不等式的解集． 例 2 已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|. (1)求不等式f(x)≤5的解集； (2)设x∈R时，f(x)的最小值为M.若正实数a，b，满足a＋b＝M，求＋的最小值． 对点训练 已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|. (1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象； (2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围． 考点三　与绝对值不等式有关的恒成立问题——弄清绝对值的几何意义 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 例 3 已知函数f(x)＝＋. (1)求不等式f(x)≤2x的解； (2)若f(x)≥k对任意x∈R恒成立，求k的取值范围． 对点训练 已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． 参考答案 考点一 [例1]　证明：（1）因为a，b，c都是正数， 所以a＋b＋c≥3 ＝3，当且仅当a＝b＝c＝ 时取等号． 因为a＋b＋c＝1，所以≤，即abc≤. （2）方法一　因为a，b，c都是正数， 所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2，当且仅当a＝b＝c＝ 时同时取等号． 所以2（＋＋）≤2（＋＋）＝a＋b＋c＝1， 所以＋＋≤. 方法二　要证＋＋≤成立，只需证＋＋≤成立即可． 因为a，b，c都是正数， 所以b＋c≥2，a＋c≥2，a＋b≥2 ，当且仅当a＝b＝c＝ 时同时取等号． 所以＋＋≤＋＋＝＝，得证． 对点训练 证明：（1）因为a2＋b2＋4c2＝3，所以由柯西不等式可知，（a2＋b2＋4c2）（1＋1＋1）≥（a＋b＋2c）2， 即（a＋b＋2c）2≤9，且a，b，c均为正数， 所以a＋b＋2c≤3，当且仅当a＝b＝2c＝1时等号成立． 所以a＋b＋2c≤3. （2）方法一　3＝3＝3. 由b＝2c，a＋b＋2c≤3得 3＝3≥（a＋b＋2c）≥（·＋·＋·）2＝9，当且仅当a＝2c时等号成立，所以＋≥3. 方法二　因为b＝2c，由（1）知a＋b＋2c≤3， 所以×3≥（a＋4c）＝1＋＋＋4≥5＋2 ＝9，当且仅当a＝2c时等号成立．所以＋≥3. 考点二 [例2]　解析：（1）f（x）＝|x－1|＋|x＋2|≤5， 当x≤－2时，不等式化为－x＋1－x－2≤5，解得x≥－3，此时－3≤x≤－2； 当－2<x<1时，不等式化为－x＋1＋x＋2＝3≤5，恒成立，此时－2<x<1； 当x≥1时，不等式化为x－1＋x＋2＝2x＋1≤5，解得x≤2，此时1≤x≤2. 综上所述，不等式的解集为[－3，2]. （2）f（x）＝|x－1|＋|x＋2|≥|x－1－x－2|＝3.所以M＝3，即a＋b＝3. 所以（a＋1）＋（b＋2）＝6， 所以＋＝[（a＋1）＋（b＋2）]＝≥×（2＋2）＝， 当且仅当a＋1＝b＋2，即a＝2，b＝1时取等号． 即＋的最小值为. 对点训练 解析：（1）由已知得g（x）＝ 所以y＝f（x