2023年中考数学专题专练--圆与三角形的综合应用

2023年中考数学专题专练-圆与三角形的综合应用 一、综合题 1.如图,等边△ABC内接于⊙O,P是AB上任一点(点P不与点A、B重合),连接AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M. (1)求∠APC和∠BPC的度数. (2)求证:△ACM≌△BCP. (3)若PA=1,PB=2,求四边形PBCM的面积 2.如图, 是 的直径,弦 于点E,G是 上一点, , 的延长线交于点F. (1)求证: . (2)当 平分 , , ,求弦 的长. 3.如图,△ABD是O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是O外一点且∠DBC=∠A,连接OE延长与圆相交于点F,与BC相交于点C. (1)求证:BC是O的切线; (2)若 O的半径为6,BC=8,求弦BD的长. 4.如图,四边形 内接于⊙O, 是⊙O的直径, 是 上一点, ,连接 . (1)求证: ; (2)连接 ,若 , ,求 的长. 5.如图,在 中,E是AD上一点,延长CE到点F,使得 . (1)求证: ; (2)请用无刻度直尺与圆规在AD上求作一点P,使 .(保留作图痕迹,不写作法) 6.如图:△ABC是⊙O的内接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D. (1)求证:CD=CB; (2)如果⊙O的半径为 ,求AB的长. 7.如图,AB是⊙O的直径,弦EF⊥AB于点C,点D是AB延长线上一点,∠A=30°,∠D=30°. (1)求证:FD是⊙O的切线; (2)取BE的中点M,连接MF,若⊙O的半径为2,求MF的长. 8.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线上的一点,且AP=AC. (1)求证:PA是⊙O的切线; (2)若AB=4+ ,BC=2 ,求⊙O的半径. 9.如图,已知 是 的直径, 是 上的点, ,交 于点E,连结 . (1)求证: ; (2)若 ,求扇形 的面积. 10.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°. (1)求证:BD=CD; (2)若圆O的半径为3,求 的长. 11.如图, 的外角 的平分线与它的外接圆相交于点E,连接 , ,过点E作 ,交 于点D 求证: (1) ; (2) 为⊙O的切线. 12.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AC为直径,弦BD=BA,BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证:∠1=∠BAD; (2)求证:BE是⊙O的切线. 13.如图, 、 是 的两条弦,且 ,点 是弧BC的中点,连接并延长 、 ,分别交 、 的延长线于点 、 . (1)求证: ; (2)若 , ,求 的半径. 14.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE. (1)求证:∠B=∠D; (2)若AB=4,BC﹣AC=2,求CE的长. 15.如图,是⊙的直径,弦,垂足为E,弦与弦相交于点G,且,过点C作的垂线交的延长线于点H. (1)判断与⊙的位置关系并说明理由; (2)若,求弧的长. 16.已知如图,以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF. (1)求证:EF是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径为3,∠EAC=60°,求AD的长. 17.如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为 的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC、BC. (1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若AD=2,AC ,求AB的长. 18.如图,点O是矩形ABCD中AB边上的一点,以O为圆心,OB为半径作圆,⊙O交CD边于点E,且恰好过点D,连接BD,过点E作EF∥BD. (1)若∠BOD=120°, ①求∠CEF的度数. ②求证:EF是⊙O的切线. (2)若CF=2,FB=3,求OD的长. 19.已知⊙O中,弦AB=AC,点P是∠BAC所对弧上一动点,连接PA,PB. (1)如图①,把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ,连接PC,求证:∠ACP+∠ACQ=180°; (2)如图②,若∠BAC=60°,试探究PA、PB、PC之间的关系. (3)若∠BAC=120°时,(2)中的结论是否成立?若是,请证明;若不是,请直接写出它们之间的数量关系,不需证明. 20.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画圆,交AC于点D, 于点F,连接OF,且 . (1)求证:DF是 的切线; (2)求线段OF的长度. 答案解析部分 1.【答案】(1)∵△ABC是等边三角形, ∴∠BAC=∠ABC=60°, 由同弧所对的圆周角相等可得: ∠APC=∠ABC=60°,∠BPC=∠BAC=60°。 (2)解:如图,∵CM∥BP,