第9讲 数论综合（讲义）人教版六年级下册数学

第9讲小升初专项复习(6) ——数论综合 思维启航 一、训练目标 知识传递:掌握数论的相关知识,并能用之分析、解决一些数论基本问题。 能力强化:分析能力、理解能力、推理能力、转化能力、推算能力、综合能力。 思想方法:整除思想、奇偶思想、比较思想、对应思想、恒等思想、同余思想。 二、知识与方法归纳 1.数的整除 (1)熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。 (2)一个数的末两位数能被4或25整除,这个数就一定能被4或25整除。(4×25=100) (3)一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或125整除。(8×125=1000) (4)一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除,这个数就能被7、11、13整除。另外,一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差(差等于0比较常见)能被11整除,这个数就能被11整除。(很常用,请牢记。)(7×11×13=1001) (5)如果两个数都能被同一个数整除,那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果c︱a, c︱b,则c︱(a+b)或c︱(a-b)。 (6)如果一个数能被另一个数整除,那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a,b是整数,则c︱ab。 (7)如果一个数能被第二个数整除,第二个数又能被第三个数整除,那么,第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b,b︱c,则a︱c。 (8)如果一个数能同时被另外两个数整除,而且这两个数互质,那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c,b︱c,且a、b互质,则ab︱c。 2.奇数和偶数 (1)两个奇偶性相同的数的和(或差)一定是偶数;两个奇偶性不同的数的和(或差)一定是奇数。反过来,两个数的和(或差)是偶数,这两个数奇偶性相同;两个数的和(或差)是奇数,这两个数肯定是一奇一偶。 (2)奇数个奇数的和(或差)是奇数;偶数个奇数的和(或差)是偶数。任意多个偶数的和(或差)是偶数。 (3)若干个数相乘,如果其中有一个因数是偶数,那么积必是偶数;如果所有因数都是奇数,那么积就是奇数。反过来,如果若干个数的积是偶数,那么因数中至少有一个是偶数;如果若干个数的积是奇数,那么所有的因数都是奇数。 (4)相邻两个自然数的乘积必是偶数,其和必是奇数。 (5)在能整除的情况下,偶数除以奇数得偶数;偶数除以偶数可能得偶数,也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。 (6)偶数的平方能被4整除;奇数的平方除以4的余数是1。 ,; 。 (7) 如果一个整数有奇数个约数(包括1和这个数本身),那么这个数一定是平方数;如果一个整数有偶数个约数,那么这个数一定不是平方数。 3.质数与合数 (1)一个数的约数只有1和它本身的数叫做质数,也叫素数。反之,一个数的约数除了1和它本身以外,还有其他的约数,这个数就叫合数。 (2)由于1的约数只有1个,所以1既不是质数,也不是合数。 (3)两个数的公约数只有1,而没有其他公约数的,这两个数就叫互质数。 (4)质数与互质数 这两个概念没有什么联系。两个质数,不能肯定就是互质数。只有两个不相同的质数,才能肯定是互质数。另外,两个合数既可能是互质数,也可能不是互质数,但不能说两个合数一定不是互质数。 (5)把一个合数分解成几个质数相乘的过程,就叫做分解质因数。 4.公因数和最大公因数 几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。 一般地我们用(a,b)表示a,b这两个自然数的最大公因数,如(12,30)=6。如果(a,b)=1,则a,b两个数是互质数。 5.公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 一般地,我们用[a,b]表示自然数a,b的最小公倍数,如[12,18]=36。 6.最大公约数与最小公倍数 (1)最大公因数 求两个数的最大公约数一般有以下几种方法: ①分解质因数法 ②短除法 ③辗转相除法 ④小数缩倍法 ⑤公式法:a×b = (a,b)×[a,b],这个公式表示:两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。 (2)最小公倍数 求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种: ①分解质因数法 ②短除法 ③公式法:a×b=(a,b)×[a,b],这个公式表示:两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。 ④大数翻倍法 思维进阶 例1.有四个小朋友,年龄逐个增加两岁,4个人年龄的乘积是9009,问其中年龄最大的一个是几岁? 例2.要使4个数的乘积135×975×342×( )的结果最后5位数字全是0,( )内的数最小应是多少? 思维训练1 一个正整数与1080的乘积是一个完全平方数,的最小值与这个完全平方数分别是多少? 例3.求5957与4107的最大公因