24.1 圆的性质及定义 复习课学案 2022--2023学年人教版九年级数学上册

第 11 讲 圆的有关性质 知识精讲 知识点一 圆的概念 圆的描述性概念:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的 图形叫做圆.其固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径. 圆的集合性概念:圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 圆的表示法:以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”. 知识点二 与圆有关的概念及简单计算 如图,(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦,如线段AC,AB; (2)经过圆心的弦叫做直径,如线段AB; ︵ (1) 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“以 A,C为端点的弧记作AC”,读作“圆弧AC”或“弧 AC”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆. ︵ ︵ ︵ 大于半圆的弧(如ABC)叫做优弧,小于半圆的弧(如AC或BC)叫做劣弧. (2) 能够重合的两个圆叫做等圆,在同圆或等圆中,能够重合的弧叫做等弧. 知识点三 圆的对称性 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 知识点四 垂径定理及其推论 1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 2. 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 温馨提示:(1)定理中“垂直于弦的直径”可以是直径,也可以是半径,甚至可以是过圆心的直线或线段. (2)推论中“平分弦”的“弦”一定是非直径的弦,否则命题就不一定成立了.如图 1 所示,当弦 CD 为直径时,AB平分CD于点O,但结论不成立.(3)利用垂径定理及其推论可以证明两条弧相等、一条弦垂直平分另一条弦、一条线段是直径. 图 1 图 2 知识点五 垂径定理的应用 在垂径定理的运用中,常涉及弦长a、弦心距d(圆心到弦的距离)、半径r及弓形高h(弦所对的弧的中点到弦中点的距离)这四者之间的关系.应用时,构造直角三角形,利用勾股定理求解.如图 2 所示, 2 2 a 2 它们的关系为r=d+( ) ,r=d+h. 2 高频考点一 圆的相关性质 1.1、下列说法正确的是( ) A.长度相等的弧是等弧 B.两个半圆是等弧 C.半径相等的弧是等弧 D.直径是圆中最长的弦 1.2、 如图所示,AC 是☉O 的直径,点 B 在☉O 上. (1)写出图中☉O 的弦,并指出最长的弦; (2) 写出图中☉O 的劣弧和优弧; (3) 试判断☉O 中有没有相等的线段?有相等的弧吗? 1.3、如图所示:点 M,G,D 在半圆 O 上,四边形 OEDF,HMNO 均为矩形,EF=b,NH=c,则 b 与 c 之间的大小关系是 b c(填“<”“=”“>”) 1.4、如图,点 A,B,C 是☉O 上的三点,BO 平分∠ABC.求证:BA=BC. 【变式训练 1-1】下列说法中正确的是( ) A.长度相等的弧是等弧 B.半圆是弧 C.半圆是圆中最长的弧 D.优弧一定大于劣弧 【变式训练 1-2】如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=40°,以C 为圆心,CB 为半径的圆交AB 于点D,连接CD, 则∠ACD 的度数为( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 【变式训练 1-3】已知,如图,BD,CE 是△ABC 的高,M 为 BC 的中点.试证明点 B,C,D,E 在以点 M 为圆心的同一个圆上. 高频考点二 垂径定理及其推理 2.1、如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不.成.立.的是( ) ︵ ︵ A.∠COE=∠DOE B.CE=DE C.OE=BE D.BD=BC B.2 7 C.6 D.82.2、 如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( ) A. 7 ︵ 2 . 3 、已知: 如图, M是AB的中点, 过点 M的弦 MN交 AB于点 C, 设⊙O的半径为 4 cm , MN=4 3 cm. (1) 求圆心O到弦MN的距离; (2)求∠ACM的度数. 2.4、在 Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点P在以点C为圆心,5 为半径的圆上,连接PA, PB.若PB=4,则PA的长为 . - 97 - 【变式训练 2-1】 如图,在⊙O中,AE是直径,半径OC垂直于弦AB于点D,连接BE,若AB=2 7, CD=1,则BE的长是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【变式训练 2-2】如图所示,某窗户由矩形ABCD和弓形AEB组成,已知弓形的跨度AB=3 m,弓形的高 ︵ EF=1 m,现计划安装玻璃,请你帮工人师傅求出AB所在的⊙O的半径. 【变式训练 2-3】如图,一下水管道横截面为圆形,直径为 100 cm,下雨前水面宽为 60 cm,一场大雨过 后,水面宽为 80 cm,则水位上