5.4.3正切函数的性质与图象课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

三角函数的图象与性质 环节四 正切函数的性质与图象 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 确定研究思路 问题1 前面我们研究了正弦、余弦函数的图象与性质，接下来我们研究正切函数． （1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？ （2）你能用不同的方法研究正切函数吗？ 答案：可以有两种思路．思路1：按照正、余弦函数图象与性质的研究思路，先通过描点或者图象变换得到图象，然后观察图象获得性质，最后用代数方法证明． 思路2：先从数的角度出发，利用函数定义或者解析式分析其性质，然后再根据性质画图，之后再观察图象得到更多的性质． 2 确定研究思路 追问 有了前面的知识准备，我们选择思路2研究正切函数性质．结合研究正弦函数、余弦函数图象与性质的经验，你觉得应该先研究哪个性质？ 答案：先研究周期性、奇偶性． 3 新知探究 1．探究性质—周期性和奇偶性 问题2 类比正弦函数周期的得出方法，判断正切函数是周期函数吗？若是，请写出正切函数的所有周期．它有最小正周期吗？ 答案：由诱导公式tan(x＋π)＝tanx，x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z． 根据周期函数的定义及周期的定义可知：正切函数是周期函数，并且kπ(k≠0)都是它的周期，其中最小正周期为π． 4 新知探究 1．探究性质—周期性和奇偶性 问题3 你能用代数方法判断正切函数的奇偶性吗？请你试一试． 答案：由诱导公式tan(－x)＝－tanx，x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z．可知：正切函数是奇函数． 5 新知探究 1．探究性质—周期性和奇偶性 问题4 你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？据此确定的研究方案是什么？可以类比正弦函数性质的研究进行思考． 答案：根据正切函数的周期性，只要研究正切函数在一个周期．类比正弦函数性质的研究，选择区间( ， )的图象与性质进行研究．再根据正切函数的奇偶性，只要研究正切函数在半个周期，即只需研究区间[0， )内的图象与性质即可． 因此接下来的研究方案是：先研究函数y＝tanx，x∈[0， )的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展． 6 新知探究 2．绘制图象—正切函数的图象 问题5 类比函数y＝sinx，x∈ [0，2π]图象的绘制过程，如何画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象呢？ 追问1 画一个新函数图象的基本方法是描点法，函数y＝sinx，x∈ [0，2π]的图象是根据正弦函数定义的几何意义，用几何描点法绘制的．那么正切函数定义的几何意义是什么？画图解释． 答案：如图所示，设x∈[0， )，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0，y0）．过点B作x轴的垂线，垂足为M则tanx＝ ＝ ．① 7 新知探究 2．绘制图象—正切函数的图象 追问2 ①式虽然解释清楚了正切函数的几何意义，但利用①式显然不方便描点．要完成描点任务，对比正弦函数与正切函数的几何意义，你认为前者为什么方便描点？据此，在①式的基础上，如何优化正切函数的几何意义？ 答案：正弦函数的几何意义是角的终边与单位圆交点的纵坐标，只是一条线段，通过平移此线段很容易描出一个点的纵坐标，而正切函数的几何意义是两条线段的长度比，因此不利于描点．据此，应该在①式的基础上，设法优化这个比，使它在数值上也可以表示为一条线段，即让分母中的线段数值上为1．于是得到： 8 新知探究 2．绘制图象—正切函数的图象 如图，过点A(1，0)作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则 tanx＝ ＝ ＝ ＝AT．② 由②式可知，当x∈[0， )时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．因此可以利用线段AT画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象． 9 新知探究 2．绘制图象—正切函数的图象 追问3 请你利用②式，通过描点画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象．并观察图象有哪些特征？ 答案：如图所示，可以画出函数y＝tanx，x∈[0， )的图象． 观察图象可知：当x∈[0，)时，随着x的增大，线段AT的长度也在增大，而且当x趋向于 时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数y＝tanx，x∈[0，)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线x= ，但不会与该直线相交． 10 新知探究 问题6 你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗?正切函数的图象有怎样的特征？ 2．绘制图象—正切函数的图象 答案：如图， 第一步，因为正切函数是奇函数，只要画函数y＝tanx，x∈[0， )图象关于原点的对称图形，就可得到y＝tanx，x∈(－ ，0]的图象； 第二步，根据正切函数的周期性，只要把函数y＝tanx，