精品解析：湖南省株洲市二中教育集团2023届高三上学期1月期末联考数学试题

株洲市二中教育集团1月份联考 高三数学试题 分值：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. P B. M C. D. 2. 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角的大小如图所示，则（ ） A. B. C. D. 4. 等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（ ） A. B. C. 当时最小 D. 时的最小值为 5. 已知为两个随机事件，，则“相互独立”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知抛物线的焦点为，动点在上，圆的半径为1，过点的直线与圆相切于点，则的最小值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 已知正数，，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且 ，则当时，函数的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据3，5，8，9，12，13，15，20，22，30的上四分位数为15 B. 若随机变量，且，则 C. 已知数据，数据，则数据标准差是数据标准差的4倍 D. 对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若一个样本点为，则实数 10. 设函数则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递增； B. 若且则； C. 若在上有且仅有2个不同的解，则的取值范围为； D. 存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到函数为奇函数. 11. 已知点动点满足直线和的斜率之积为，记点的轨迹为曲线，过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连接并延长交于点，则（ ） A. 曲线方程为： B. 为直角三角形 C. 面积最大值为 D. 面积最大值为 12. 已知数列满足，数列前项和为，则下列叙述正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若为纯虚数，则复数的虚部为__________. 14. 在正三棱锥中，，为中点，则异面直线与所成角余弦值为____. 15. 已知双曲线的焦距为，过的右焦点的直线与的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，若且，则的渐近线方程为__________. 16. 已知函数的导函数满足：，且，当时，恒成立，则实数的取值范围是________________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）令，求数列的前项和. 18. 在中，角的对边分别为已知，， （1）证明： （2）若求的周长. 19. 图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2. （1）求证：平面平面ABED； （2）在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为？若存在，求出直线与平面所成角的正弦值. 20. 某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为. （1）求该社区能举行4场音乐会的概率； （2）求该社区举行音乐会场数分布列和数学期望. 21. 已知椭圆左、右焦点分别为且离心率为，椭圆的长轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以线段为直径作圆，若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点试判断是否为定值，并说明理由. 22. 已知函数． （1）若是的极值点，求a； （2）若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个． ①当时，；②当时，． 注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市二中教育集团1月份联考 高三数学试题 分值：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中