1.5 角的平分线-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

1.5 角的平分线 知识点一 角平分线的作法 ①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. ②分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. ③画射线OC.即射线OC即为所求. 知识点二 角平分线的性质 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 知识点三百 角平分线的判定 角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 题型一 角平分线的作法及应用 【例题1】如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是　　 A．15 B．30 C．45 D．60 解题技巧提炼 根据作图要求进行做图。 【变式1-1】尺规作图（不写作法，保留作图痕迹） 如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线； 【变式1-2】如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的长为　　 A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-3】如图，四边形中，，，，是图中尺规作图的痕迹的交点，在射线上，则　 　． 【变式1-4】在中，，作的平分线交于点．若，，则的长为 　　． 【变式1-5】如图，有分别过A、B两个加油站的公路l1、l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足到A、B两个加油站的距离相等，而且油库的位置到两条公路l1、l2的距离也相等．那么油库应该修建在什么位置？在图上标出它的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 题型二 角平分线的性质的应用 【例题2】如图，平分，于点，于点，若，则　 　． 解题技巧提炼 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 【变式2-1】如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ） A．134° B．124° C．114° D．104° 【变式2-2】已知锐角，如图 （1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接； （3）作射线交于点．根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．③ 【变式2-3】如图，在四边形中，，，连接，，．若是边上一动点，则长的最小值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-4】如图，中，，点在边上，平分，，，则的面积是　　 A． B． C． D． 【变式2-5】如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 题型三 角平分线的性质与等积法 【例题3】如图，是中的平分线，，交于点，，交于点，若，，则的面积是　　 A．4 B．6 C．8 D．10 解题技巧提炼 利用等面积法和角平分线的性质进行求解。 【变式3-1】如图O是内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离．若，则（ ）． A．125° B．135° C．105° D．100° 【变式3-2】如图，，是的中点，平分，且，，则的长度为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，点是的平分线上一点，于点，且，，点在边上运动，当运动到某一位置时面积恰好是面积的2倍，则此时的长是　　 A．10 B．8 C．6 D．4 【变式3-4】我们知道：三角形的三条角平分线交于一点．如图，要证明三角形的三条角平分线交于一点，慧慧、明明同学分别进行了如下分析： 慧慧分析：要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了． 明明分析：明明用下面框图分析如下， 下面四个选项中说法正确的是　　 A．慧慧分析正确，明明分析错误 B．慧慧分析错误，明明分析正确 C．慧慧、明明的分析都正确 D．慧慧、明明的分析都错误 【变式3-5】如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 题型四 角平分线的性质与全等 【例题4】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC． （1）求证：CE平分∠BCD； （2）求证：AD+BC＝CD； （3）若AB＝12，CD＝13，求S△CDE． 解题技巧提炼 根据角平分线的性质与三角形全等的判定进行求解 【变式4-1】如图，已知中分别平分交于F，连