第3讲 复数的三角表示-2022-2023学年高一数学同步题型方法总结精品讲义（人教A版2019必修第二册）

教师版 最孤独的人 ----------前不见古人，后不见来者。（《登幽州台歌》唐·陈子昂） 复数专题 第3讲 复数的三角表示 思维导图-----知识梳理 脑洞(常见考法)：浮光掠影，抑或醍醐灌顶 思维导图-----典型题型讲练 题型一 复数的代数式与三角式互换 思维导图-----知识梳理 一、复数的辅角 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值， 且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 二、复数的三角形式 定义：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 三、复数的代数式与三角式互化 1、将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同，当，时， 2、每一个不等于零的复数有唯依的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 类型1 代数式化为三角式 例1.将下列各复数转化为三角形式（辐角取辐角主值）：围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 （1）； （2）-2i； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【解析】（1）∵，，， 又，∴，∴. （2）∵，，， 又，∴， ∴. （3）∵，，， 又，∴，∴. （4）∵，，， 又，∴.∴. 例2.把下列复数的代数形式化成三角形式. （1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）. 因为与对应的点在第四象限，所以， 所以. （2）. 因为与对应的点在第四象限，所以， 所以. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.把下列复数的代数形式化成三角形式. （1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）.因为与对应的点在第四象限， 所以，所以. （2）.因为与对应的点在第四象限， 所以，所以. 2.已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，试写出下列各复数的三角形式． （1）z1＝－a＋bi；（2）z2＝－a－bi；(3)z3＝a－bi. 【答案】（1）z1＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)] （2）z2＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)] （3）z3＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)] 【解析】（1）z1＝r(－cosθ＋isinθ)＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]． （2）z2＝r(－cosθ－isinθ)＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]． (3)z3＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]． 3.将下列复数代数式化为三角式： （1）； （2）. （3）； （4） . 【解析】（1）=； （2）=. （3）=； （4）= 当时 ,∴ 当时 ∴=. 类型2 三角形式化为代数式 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.把下列复数的三角形式化成代数形式. （1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）. （2）. 例2.分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． （1）4； （2）2 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝. . （2）， 复数的模为2，辐角的主值为θ＝，. 套路(举一反三)：手足无措，抑或从容不迫 1.复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是( ) A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】C【解析】z＝3＝3.故选C. 2.将下列各复数的三角形式转化为代数形式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. 题型二 复数的辅角主值 围观(典型例题)：一叶障目，抑或胸有成竹 例1.复数sin40°－icos40°的辐角主值是( ) A．40° B．140° C．220° D．310° 【答案】D【解析】∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°， ∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin31