专题17 等腰三角形与直角三角形（分层精练）-2023年中考数学第一轮复习《考点解读•分层精练》（全国通用）

专题17 等腰三角形与直角三角形（分层精练） 1．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2， ∴AC＝2BD＝4， ∵∠C＝60°， ∴∠A＝30°， ∴BC＝AC＝2， 故选：C． 2．（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（　　） A．BF＝1 B．DC＝3 C．AE＝5 D．AC＝9 【答案】A 【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB， ∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴AE＝DE， ∵DE＝5，DF＝3， ∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确； ∴CE＝＝4， ∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确； ∵DE∥AB，∠DFB＝90°， ∴∠EDF＝∠DFB＝90°， ∴∠CDE+∠FDB＝90°， ∵∠CDE+∠DEC＝90°， ∴∠DEC＝∠FDB， ∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝， ∴， 解得BF＝，故选项A错误； 故选：A． 3．（2021•襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈＝10尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】C 【解答】解：设水深为h尺，则芦苇长为（h+1）尺， 根据勾股定理，得（h+1）2﹣h2＝（10÷2）2， 解得h＝12， ∴水深为12尺， 故选：C． 4．（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC＝，BC＝1，∠AOB＝30°，则OA的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1， ∴OB＝＝＝2， ∵∠A＝90°，∠AOB＝30°， ∴AB＝OB＝1， ∴OA＝＝＝， 故选：A． 5．（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（　　） A．2 B．2 C．4 D．4+2 【答案】C 【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示： ∵OE平分∠AOB，EC⊥OB， ∴EH＝EC， ∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB， ∴∠AOC＝2∠AOE＝30°， ∵DE∥OB， ∴∠ADE＝30°， ∴DE＝2HE＝2EC， ∵EC＝2， ∴DE＝4， ∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°， ∴∠DEO＝15°， ∴∠AOE＝∠DEO， ∴OD＝DE＝4， 故选：C． 6．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【答案】D 【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形， 当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形． 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D． 7．（2022•杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 【答案】B 【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意； B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意； C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 8．（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连结EB，EC．若∠EBC＝45°，BC＝6，则△EBC的面积是（　　） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴BD＝CD＝BC＝3，AD⊥BC， 在