4.5.3函数模型的应用课件（1）-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

指数函数与对数函数 环节三 函数模型的应用(1) 高中数学人教A版必修第一册单元教学设计 知识应用 请同学们阅读课本例3，思考相应的问题. 问题1 如何利用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年这一时期的具体人口增长模型？ 追问1 在马尔萨斯人口增长模型“y=y0ert”中，哪些是变量？哪些是参数？它们的实际意义是什么？ 答案：马尔萨斯人口增长模型“y=y0ert”中，t表示经过的时间，y表示经过t年后的人口数，t、y都是变量；y0表示t=0时的人口数，e是自然对数的底数，r表示人口的年平均增长率，y0、e、r都是参数，其中e是已知常数，y0、r是待定的参数． 2 知识应用 追问2 如何根据我国的数据求马尔萨斯人口增长模型中的参数y0、r的值？ 答案：要建立我国在1950～1959年这一时期的具体人口增长模型，因为y0表示时间为0时的人口数，所以y0为1950年末的人口数55 196万，即y0=55 196． 根据马尔萨斯人口增长模型，有 67 207=55 196e9r， 由计算工具，得 r≈0.021876． 3 知识应用 追问3 根据前面问题的结果，你能写出我国在1950～1959年这一时期的具体人口增长模型吗？并说说这是一个什么类型的函数？其自变量是什么？定义域是什么？ 答案：根据前面问题的结果，我国在1950～1959年期间的人口增长模型为 y=55 196e0.021876t，t∈[0，9]， 这是一个指数型函数， 其自变量是经过的时间t（年），定义域是t∈[0，9]． 4 知识应用 问题2 由问题1所得的人口增长模型与我国1950～1959年的实际人口数据是否相符？ 追问1 如何检验所得模型与我国1950～1959年的实际人口数据是否相符？ 5 知识应用 答案：查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年各年末的实际人口总数，然后利用问题1中的模型计算1951～1958年各年末的人口总数，列表从数据上进行比较．还可以在同一直角坐标系中画出我国在1951～1958年各年末的实际人口总数数据对应的散点图，和人口模型的函数图象，观察它们的拟合程度，从图象上进行比较． 6 知识应用 追问2 查阅国家统计局网站公布的我国在1951～1958年各年末的实际人口总数，如表1中第二行的数据所示． 利用问题1中的模型，计算1951～1958年各年末的人口总数，填入表1中的第三行，并比较数据．所得模型与实际人口数据是否相符？ 表 1 年份 实际人口总数/万 计算所得人口总数/万 7 知识应用 答案 分别取t=1，2，…，8，由y=55 196e0.021876t可得我国在1951～1958年间的各年末人口总数，完成的数据表如表2所示． 从数据上看，所得模型与实际人口数据基本相符． 表 2 年份 实际人口总数/万 计算所得人口总数/万 例1 8 知识应用 追问3 根据表1中的数据，画出实际人口总数数据对应的散点图，再在同一直角坐标系中画出函数y=55 196e0.021876t，t∈[0，9]的图象，观察散点图与函数图象是否相符？由此你能得到什么结论？ 答案 观察可知，散点基本在函数y=55 196e0.021876t，t∈[0，9]的图象上下浮动，并且紧密贴合着函数图象． 由此可以得出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合． 图1 例1 9 知识应用 问题3 以问题1中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？ 答案：将y=130 000代入y=55 196e0.021876t，由计算器得t≈39.15．所以按照问题1中的模型增长，大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿． 追问：事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？ 10 知识应用 答案 马尔萨斯人口模型是在自然状态下的人口增长模型．我们只是依据1950年末和1959年末的数据建立的模型，这一时期我国人口处于自然增长状态，因此所得的模型与这一时期的人口增长情况基本吻合．而1990年的实际人口数据与模型差异较大，可能是由于在1990年之前的一段时期，我国的人口不是在自然状态下进行增长的． 11 知识应用 事实上，因为人口基数较大，人口增长过快，与当时我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70