6.2.4向量的数量积课件（二）-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

环节七 向量的数量积（二） 平面向量的概念与运算 高中数学人教A版必修第二册单元教学设计 答案：我们学习运算的过程是：定义→性质→运算律→应用，从先学习单一的运算，到后面与其他运算的综合． 问题1 回想我们之前学习运算的过程，每定义一种新的运算，研究了它的意义和性质后会研究什么？如何研究？ 复习引入 问题2 上一节课我们学习了向量的数量积运算，类比数的乘法运算律，结合向量的的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？ 新知探究 答案：已知两个非零向量，他们的夹角是，我们对数量积的定义是．即两个向量的数量积是一个数量，其值等于它们两个模长的乘积再乘以夹角的余弦值． 数的乘法运算满足交换律、结合律、分配律，对于向量数量积运算，我们仍然可以从这几条运算律来进行研究． 问题3 尝试分析向量的数量积运算是否满足交换律和结合律． 新知探究 （1）根据定义，， 所以向量数量积运算满足交换律； 问题3 尝试分析向量的数量积运算是否满足交换律和结合律． 新知探究 （2）设，则是与共线的向量， 若，则，与的夹角仍为， 所以； 若，则，与的夹角为， 所以； 若，则，，此时仍有． 所以，对于任意的，都有． 同理，可进一步得． 即向量的数量积运算满足对实数的结合律． 追问 想一想，向量数量积运算本身是否满足结合律呢？即设是向量，那么一定成立吗？为什么？ 新知探究 答案： 向量数量积运算本身并不满足结合律． 因为向量数量积的运算结果是一个数量，所以一个数量，自然地是一个与共线的向量，而因为也是一个数量，故是一个与共线的向量，所以就不一定成立了． 所以，关于向量数量积，要注意它只满足对实数的结合律，而运算自身并不满足结合律． 问题4 前面讨论了交换律和结合律，那么向量数量积是否也像数的乘法一样，对加法满足分配律呢？ 新知探究 答案： 向量数量积满足分配律． 如图，任取一点O，作． 设向量与的夹角分别为，它们在向量上的投影分别为与方向相同的单位向量为，则 ，，， 因为，所以， 于是， 即， 整理得， 所以， 即， 所以， 因此． 即，向量数量积满足分配律． 例1 我们知道，对任意，恒有 . 对任意向量，是否也有下面类似的结论？ （1）；（2）． 应用举例 解：（1） ； （2）． 因此，上述结论是成立的． 例2 已知，的夹角为60°： ①求； ②求． 应用举例 解：① ． ②∵， ， ∴ 例3 已知，且不共线．当为何值时，向量与互相垂直？ 应用举例 解：与互相垂直的充要条件是， 即． 因为所以． 解得． 也就是说，当时，与互相垂直． 问题5 本环节我们学习了什么内容？和以前所学同类内容有什么一致性和不同？ 梳理小结 答案：本环节我们学习了向量数量积的运算律．实数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律，向量数量积和实数乘法运算所满足的运算律有一致性，也有不同．向量数量积满足： 交换律 ， 数乘结合律 ， 分配律 ． 注意，向量数量积本身并不满足结合律，即没有． 基于以上运算律，实数运算中的基本乘法公式对向量也成立． $