5.2导数的运算（第1课时）基本初等函数的导数（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第 5 章导数及其应用 ５.２导数的运算（第1课时） 基本初等函数的导数 1 在上一节的学习中，我们已经了解到函数在某点处导数的概 念．从导数的定义中不难发现：在导数存在的前提下，对于不同的X０，总有一个确定的导数值f′（X０）与之对应．换句话说，如果用x表示自变量，那么f′（x）是一个关于x的函数．我们将f′（x）称为f（x）的导函数（也简称为导数），记作 求一个函数的导（函）数的过程常常简称为求导． 如果能够求出某个函数的导数f′（x），那么，求该函数在某点处导数的问题就可以通过简单的代入求值来解决． １ 基本初等函数的导数 根据导数的定义，可以求出一些基本初等函数的导数． 例１ 求常数函数f（x）＝C的导数． 解 当h≠０时， 因此，当h趋近于０时， 对于例１中的函数f（x），坐标平面中的曲线y＝f（x）是平行于x轴的直线y＝C，连接该直线上任何两点的割线都是这条直线本身，从而过该直线上任何一点的切线也是这条直线本身．由此可见，该直线上任何一点的切线的斜率都是０，即对任何X０，f′（X0）＝０．由此推出f′（x）＝０．这是从导数的几何意义诠释了例１的结论． 类似的分析可以用于一次函数f（x）＝kx＋b：直线y＝＝kx＋b 上任何一点的切线都是这条直线本身，从而都具有斜率k，即对任何x０，f′（x０）＝k．由此推出f′（x）＝k．从几何上推出的这个结论可用 导数定义验证，如例２． 例２ 求一次函数f（x）＝kx＋b的导数． 解 当h≠０时， 因此，当h趋近于０时， 例３ 求下列幂函数的导数． 解 （１）当h≠０时， 因此，当h趋近于０时， （２）当h≠０时， 因此，当h趋近于０时， （3）当h≠０时， 因此，当h趋近于０时， 为了更为便捷地处理求导问题，我们通常将以下基本初等函 数的导数作为公式使用： 例4 已知函数 求f′（２）． 解 因为 所以 例５ 求正弦函数f（x）＝ｓｉｎx的驻点． 解 因为f′（x）＝ｃｏｓx，而ｃｏｓx＝０的解是 所以当且仅当 时，正弦函数f（x）＝ｓｉｎx有驻点． 探究： １．说明可把二项式定理改写为 的形式，其中q是关于a、b的多项式．据此证明当n是正整数时的幂函数的导数公式 ２．在我们熟悉的基本初等函数中，哪些函数的图像存在水平 切线？哪些函数的图像在所有点处切线斜率始终大于０？尝试从 导数公式和函数图像两种角度进行探究． 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习５．2（１） 　１．用导数的定义求函数 的导数． ２．用公式求下列函数的导数： ３．求余弦函数f（x）＝ｃｏｓx在 处的导数． ４．证明函数f（x）＝ｌｎx与 没有驻点． 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1、根据导数的定义求：函数f(x)＝x2－2x在x＝1处的导数f ′(1)＝ 【提示】注意：理解导数的定义； 【答案】0； 2、函数f(x)＝sin x，则f ′(6π)＝________. 【提示】注意：利用常见函数求导数； 【答案】1； 【解析】由已知f′(x)＝cos x，所以f′(6π)＝1； 宋老师数学精品工作室 3、设f(x)在R上可导，则f(－x)在x＝a处的导数g′(a)与f(x)在 x＝－a处的导数f′(－a)之间的关系是 【提示】理解导数的定义与求法； 【答案】f′(－a)+g′(a)=0； 【解析】设f(－x)＝g(x)，则f(－x)在a处的导数为g′(a)， 这说明f(－x)在x＝a处的导数与f(x)在x＝－a处的导数互为相反数； 宋老师数学精品工作室 4、求下列函数的导数． 宋老师数学精品工作室 THANKS “ ” $