2021年江苏省常州市中考第26题解答及其变式

《中国科技论文》投稿格式 2021年江苏省常州市中考第26题解答及其变式 刘蒋巍 （江苏省常州市学思堂教育研究院，常州 213000） 1.试题呈现及解答 【阅读】 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用. 【理解】 （1） 如图1，，，垂足分别为C、D、E是AB的中点，连接CE.已知，（）. ①分别求线段、的长（用含、的代数式表示）； ②比较大小：______（填“”、“”或“”），并用含、的代数式表示该大小关系. 【应用】 （2） 如图2，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图形上，横坐标分别为、.设，，记. ①当，时，_______；当，时，_______； ②通过归纳猜想，可得的最小值是______；请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立. 参考答案： （1） ①；. ②，（） （2）①；1. ②的最小值是1. 理由如下： 过点M作轴于A，轴于E，过点N作轴于B，过点N作轴于F，连接MN，取MN的中点J，过点J作轴于C，作轴于G. 则，即： 记矩形JCOG的面积为S. 因为当时，点J在反比例函数图象的上方， 所以. 因为当时，点J在反比例函数图象上， 所以. 因此， 故，的最小值是1. 2.拓展变式 如图1，C为线段AB上的点，且，，且，，O为AB中点，以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于点D.连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线，垂足为E. 请完成下列各题： （1） 试证明：， （2）由OD≥CD≥DE可以证明的不等式为____________（用含、的代数式表示） 【学以致用】 ①设，，且，，记，求的最小值. ②某人在两个商店以不同的价格购得相同的两件物品，后来因为资金缺乏，便将这两件物品以相同的价格卖了出去，结果一件赚了（），另一件亏了.问这个人到底是赚了，还是亏了，亦或不赚不亏？请说明理由。 参考答案： （1） 易得：相似于，则， 即：，又，，则； 易得：相似于，则， 即： 又因为， 所以 （2） 由OD≥CD≥DE可以证明的不等式为：（，，当且仅当时，取等号） 【学以致用】 ①由（2）得：（，），即：， 所以，，当且仅当时，取等号。 ②亏了。 设两件物品购进价格分为为，（，），两件物品以相同的价格（）卖出。则， 所以， （因为，则，故该不等式取不到等号） 因此，这个人亏了。 ( 1 ) ( - 3 - ) 学科网（北京）股份有限公司 $